Auch wenn es vielleicht nicht in diesem Brett gehört ( im Rätselbrett gibt es keine Auskunft)
Wer kann mir bei diesem Problem Helfen ?
2 Leiter stehen in einem kleinen Flur
kreuzweise je an einer Wand.(bis zur Kante der gegenüberliegenden Wand) Die eine ist
3m, die andere 2m hoch. Der Schnittpunkt
der beiden liegt 1m über dem Boden.
Frage: Wie breit ist der Flur ??
Erstmal ein paar Variablen:
Sei
x die Breite des Flurs
y die Höhe, bei der die kürzere Leiter die (der Anschauung wegen: linke) Wand berührt.
z die Höhe des Berührungspunktes der 3-Meter-Leiter (rechte Wand).
Pythagoras liefert nun:
1) x2+z2 = 9 und
2) x2+y2 = 4 und wenn wir die voneinander abziehen:
3) z2-y2 = 5 bzw.
3a) 5 + y2 = z2
3a) sieht so verdächtig nach Pythagoras aus. Da konstruieren wir mal eben ein rechtwinkliges Dreieck D der Kantenlängen
sqrt(5), z und y. Wer weiß, wofür mans noch brauchen kann.
Sei nun noch
x1 die Strecke von der linken Wand bis unter den Schnittpunkt, und x2 die Strecke von der rechten Wand bis unter den Schnittpunkt. Also
4) x=x1+x2
Aus Dreiecksähnlichkeitsgründen kriegen wir noch:
5) x/z = x1 und
6) x/y = x2
bzw.
5a) 1/z = x1/x und
6b) 1/y = x2/x
und daraus
7) 1/z + 1/y = 1
Nun nehmen wir uns das oben vorausschauend konstruierte Dreieck D.
Sei alpha der Winkel zwischen sqrt(5) und z.
Dann ist
8) sin(alpha) = y/z
9) cos(alpha) = sqrt(5)/z
10) tan(alpha)= y/sqrt(5)
11) cot(alpha) = sqrt(5)/y
7) und 9) und 11) liefern
12) cos(alpha) + cot(alpha) = sqrt(5)
Nun suchen wir im Bronstein oder so nach einem Winkel alpha, dessen cosinus+cotanges gleich sqrt(5) ergibt.
Wenn wir den haben, können wir mit 9) z berechnen, und mit 1) schließlich x.
Uff. Geschafft.
Alternative: Wir nehmen die Gleichungen 1) 2) 3) 4) 5) 6) setzen die geeignet ineinander und jonglieren mit biquadratischen Gleichungen und binomischen Formeln. Jetzt mag ich aber nicht mehr.
Grüße
Barbara
Das müßte auch mit einem Gleichungssystem zu lösen sein. Die komplette Lösung ist aber zu aufwendig, um sie hier zu schreiben. Da es sich um kein lineares Gleichungssystem handelt, weis ich auch nicht, ob es sich bis zum Ende durchrechnen läßt. Ich werde es mir auch nicht antun, das auszuprobieren. Das Prinzip ist folgendes:
In der Zeichnung wird in 1 m Höhe eine waagerechte Linie von Wand zu Wand gezeichnet. Daraus ergeben sich 4 kleine rechtwinklige Dreiecke deren Spitzen sich im Schnittpunkt der Leitern treffen. Die Leitern selbst bilden mit Wänden und Boden 2 große rechtwinklige Dreiecke. Insgesamt ergeben sich 10 kurze und 5 lange Strecken, die sich aus jeweils 2 kurzen zusammensetzen. Von den Strecken sind 2 lange ( Leitern ) und 2 kurze ( je 1 m ) bekannt. Bleiben also 11 noch unbekannte.
Aus den insgesamt 6 Dreiecken ergeben sich 6 Pythagoras-Gleichungen. Die 5 langen Strecken setzen sich aus je 2 kurzen zusammen. Das ergibt nochmal 5 einfache Gleichungen. Macht also 11 Gleichungen mit 11 Unbekannten. Das müßte dann eindeutig lösbar sein.
Das mußt Du selbst mal ausprobieren. Viel Erfolg.
Jörg