Habe gerade versucht die Kurvendiskussion von f(x)=x+ln(x) zu machen und bin dabei auf folgendes Problem gestoßen:
Um die Nullstellen berechnen zu können muss ich die Funktion f(x) Null setzen:
f(x) = 0
x + ln(x) = 0
ln(x) = -x
So, und da stehe ich auch schon an. Egal ob ich mit der Exponentialfunktion oder anders arbeite, ich schaffe es nicht diese Gleichung (für einen Maturanten verständlich) zu lösen. Graphisch, näherungsweise,… ist es klar, doch rechnerisch?
Für jegliche Hilfe bin ich dankbar! Vielleicht stehe ich auch nur auf der Leitung?
Schon mit dem Fixpunktverfahren (=Newtoniteration mit der Fkt. x(k+1)=f(x(k)) ) x(k+1)= x(k) - f(x(k))/f’(x(k)) probiert ?? Im Bronstein Seite 744 steht leider nur die Fkt. x^2-log(x)-2=0 als Beispiel mit g(x)=x^2-2 und h(x)=log(x) x=e^(x^2-2) g(x)=x h(x)=e^(x^2-2)
e^x^2 = x*e^2 g(x)=e^x^2 h(x)=x*e^2 verwendet…
hier gilt es, etwas um die Ecke zu denken, besser „um die Kurve“:
Erster Gedankenblitz: x - ln(x) fragt eigentlich nach dem Schnittpunkt der Funktionen f=x und g=ln(x).
Definitionsbereich von ln(x) ist x>0. x1 _immer_ kleiner ist als die Steigung von x, dann kann es keinen Schnittpunkt geben.
Die Steigung von x ist 1. Die Steigung von ln(x) ist … na?.. 1/x, genau. Die Steigung von ln(x) bei x=1 ist also genauso groß wie die Steigung von x, nämlich 1. Für x->oo geht die Steigung von ln(x) gegen 0, streng monoton. Zu keiner Zeit ist sie also größer als 1. Damit hast du gezeigt, daß es kein x gibt für das ln(x)-x = 0 wahr ist.
Zusammengfaßt nochmal:
a) Die Nullstelle wäre der Schnittpunkt von ln(x) und x
b) Bei x=1 ist ln(x) 1 ist die Steigung von ln(x) immer kleiner als die von x.
e) Für x 0, mithin gibt es keine Nullstelle.
hi,
das wirst du kein glück haben. ln(x) 1 läuft die gerade y = x der
kurve y = ln(x) immer mehr davon.
Wenn ich mich nicht irre, betrachtest Du die Funktion x-ln(x) und die hat keine Nullstelle. Die Funktion x+ln(x) aber sehr wohl, wie man sich graphisch schnell überzeugen kann.
Leider kommt mir im Moment auch keine bessere Idee, als dass man die Lösung aproximieren kann (z.b. Newtonverfahren).
Danke!
Auf das Netwonsche Näherungsverfahren bin ich auch gekommen. Da dies bei uns nicht im Lehrplan steht (und auch kein anderes Näherungsverfahren) dachte ich, dass es ev. einen anderen Weg gibt, um auf die Nullstelle zu kommen.
Herzlichen Dank für die tw. tollen (wenn auch nicht für meine Funktion zutreffenden) Antworten!
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