Flächeninhalt eines Dreiecks | aus Forum Physik

Flächeninhalt eines Dreiecks

Von: , Frage gestellt am So, 19. Dez 2004

Hallo,

ich schreibe nächste Woche eine Arbeit (über den Satz des Pythagoras, Kathetensatz...etc) und irgendwie habe ich in meinen Unterlagen nichts zu folgenden Fragen gefunden (hab irgendwie wieder vergessen, wie´s geht):

1. Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks das rechtwinklig ist ?

2. Wie ist die allgemeine Formel für die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks ?

3. Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Trapezes ?

4. Kennt ihr vielleicht eine gute Seite oder ein Buch, wo solche Formlen auch für "Dumme" ;o) übersichtlich aufgelistet sind ?

Danke für erue Hilfe !

Liebe Grüße,
Larissa

8 Antworten zu dieser Frage

Antwort von nach 36 Minuten 0 hilfreich

Re: Flächeninhalt eines Dreiecks

Hallo Larissa,

Entschuldige die Frage, aber: In welche Klasse gehst Du? 1. Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks das
rechtwinklig ist
A = a * b / 2, wobei a, b die Katheten sind.
2. Wie ist die allgemeine Formel für die Berechnung des
Flächeninhalts eines Dreiecks ?
Entweder
A = c * hc / 2 (c: Seite, hc: die Höhe des Dreiecks bezügl. der Seite c)
oder die Heronsche Formel

A = Wurzel( s * (s-a) * (s-b) * (s-c) ), s:= (a + b + c)/2, wobei a, b, c die 3 Seiten sind. 3. Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Trapezes ?
A = (a + c) * h / 2, wobei a, c die 2 parallelen Seiten sind, h ist die Höhe.

Alles Gute,
Pürsti

Antwort von nach einer Stunde 0 hilfreich

Re^2: Flächeninhalt eines Dreiecks

Entschuldige die Frage, aber: In welche Klasse gehst Du?
Ich gehe in die 9.Klasse, Gymnasium.
Ich weiß schon, keine Frage der höheren Mathematik ;o)
Aber ich habe hier bisher immer so informative Antworten bekommen, da wollte ich´s mal versuchen, hoffe, mir nimmt das niemand übel.

Danke für erue Antworten !

LG,
Larissa
- Antwort von nach einer Stunde 0 hilfreich
  
  Re^3: Flächeninhalt eines Dreiecks
  
  Hallo Larissa, Entschuldige die Frage, aber: In welche Klasse gehst Du?
  Ich gehe in die 9.Klasse, Gymnasium.
  Ich weiß schon, keine Frage der höheren Mathematik ;o)
  Aber ich habe hier bisher immer so informative Antworten
  bekommen, da wollte ich´s mal versuchen, hoffe, mir nimmt das
  niemand übel.
  Das war nicht so gemeint - ich befürchtete nur, dass Du kurz vor dem Abitur stehst (habe da schon schlimme Erfahrungen mit meinen Nachhilfeschülern). In der neunten Klasse sind solche Fragen erlaubt ;-)
  
  Alles Gute,
  Pürsti
- Antwort von nach 15 Stunden 1 hilfreich
  
  Re^3: Flächeninhalt eines Dreiecks
  
  Hallo, Larissa, trotz der vielen
  Informationen möchte ich nochmal
  versuchen, das Problem möglichst
  anschaulich "in einem" zu bespreechen:
  Wenn du aus einem Trapez das "Mittelteil",
  nämlich das Rechteck zwischen den beiden
  "überstehenden Schrägungen" herausnimmst,
  erhälst du ja ein Dreieck. Setzt du nun
  dieses Dreieck "kopfüber" rechts oder
  links noch einmal an, erhälst du ein
  Parallelogramm, das, "geradegeschobnen"
  zu einem Rechteck wird. Fläche:
  Grundseite mal Höhe (oder in anderen
  Worten: Länge mal Breite)
  Die Rechteckfläche des "Mittelteils"
  des Trapezes (Rechteck!) ist gleich
  "Länge der (kürzeren) Dachlinie mal Höhe.
  Das durch Zusammenfügung der beiden
  "überstehenden" Schrägungen entstehende
  Dreieck hat die Grundseite der Differenz
  der beiden Trapezlinien
  (Dach- und Bidenkante); beim
  "verdrehten Anfügen" verdoppelt sich diese
  Dreiecksfläche.
  Bei einem "verdrehten Anfügen des ganzen
  Trapezes an sich selbst verdoppelt sich
  dementsprechend die gesamte Trapezfläche,
  und wieder haben wir als Fläche
  Grundseite mal Höhe, was wir aber ja wieder
  durch 2 teilen müssen.
  Beim "verdrehten Selbstanfügen" des Trapezes
  enstehen die Grund- und Deckseite als Summe
  der beiden Trapez (Grund- und Deck)Seiten.
  Also ergibt sich sdie Fläche des Trapezes als:
  Summe Grund+Deckseite mal Höhe.
  Übrigens ist ja auch ein Dreieck ingewisserweise
  ein Trapez, nur mit der Deckseite 0!
  Man kann natürlich auich die Mittel"parallele"
  des Trapezes einführen und dessen Fläche dann
  als m*h, als Länge der Mittelparallele mal Höhe
  berechnen. Diese Mittelparallele ist ja der
  Mittelwert aus Grund- und Decklinie des Trapezes.
  Also die Hälfte voin deren Summe.
  Die "Mittelparallele eines Dreiecks" ist natürlich
  (Grundseite g plus 0) geteilt durch 2, also die halbe
  Grunsdseite. Dreiecksfläche also h*(g+0)/2 = g*h/2.
  
  Man berechnet übrigens immer komplexe Flächen durch
  Aneinanderlegen von Rechtecken, auch in der
  "höheren Mathematik" (Integralrechnung).
  Ich bitte um Verzeihung, sollte ich hiermit wieder mal
  auffe Nerven gegangen zu sein, zumal du ja schon mit
  den bisherigen Antworten deine Zufriedenheit
  ausgedrückt hast!
  Lieber Krüsse, moinmoin, Manni

Antwort von nach 46 Minuten 0 hilfreich

Re: Flächeninhalt eines Dreiecks

Hallo Larissa!
4. Kennt ihr vielleicht eine gute Seite oder ein Buch, wo
Hier eine Übersicht:
http://www.zum.de/dwu/umamdv.htm
(links die blaue Spalte ist anklickbar)

Viel Erfolg!
Helene ;-)

Antwort von nach einer Stunde 5 hilfreich

Re: Flächeninhalt eines Dreiecks

Hallo Larissa!

Bei den "einfacheren" geometrischen Figuren ist es oft recht hilfreich, wenn man einfach versucht aus der gegebenen Figur durch anfügen oder verschieben auf eine bekannte Fläche zu kommen, vorzugsweise ein Rechteck, dessen Inhalt man ja recht leicht berechnen kann. 1. Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks das
rechtwinklig ist ?
Mal dir mal ein beliebiges rechtwinkeliges Dreieck, und zwar so, dass du den rechten Winkel etwa links unten machst. Das sieht dann (zum Beispiel) so aus:

|\
| \
|  \
|   \
-----

Wenn du da jetzt etwas genauer hinsiehst, dann sieht das schon stark nach einem halben Rechteck aus. Es ist leicht zu zeigen, dass dem auch so ist. Folglich ergibt sich der Flächeninhalt aus dem Produkt der beiden Katheten durch 2. Wir stellen jetzt gleich mal eine gewagte These auf: Bekanntlich ist ja bei einem rechtwinkeligen Dreieck eine Kathete gleichzeitig auch die Höhe auf die jeweils andere Kathete (also b=h_a und a=h_b). Ich behaupte jetzt mal: A=(a*h_a)/2=(b*h_b)/2=(c*h_c)/2. 2. Wie ist die allgemeine Formel für die Berechnung des
Flächeninhalts eines Dreiecks ?
Wir zeichnen uns mal ein allgemeines Dreieck (ich bring' hier leider nur gleichschenkelige hin, aber es funktioniert wirklich auch mit beliebigen anderen Dreiecken - probier's einfach mal aus).

___________
\         /
\       /
\     /
\   /
\ /
V

Natürlich brauchen wir jetzt auch noch die Höhe. Ich nehme aus darstellerischen Gründen die auf die obere Seite

___________
\    |    /
\   |   /
\  |  /
\ | /
\|/
V

Wir stellen fest: Die Höhe teilt das Dreieck in 2 Teile. Von oben wissen wir ja schon: jeqweils die beiden Katheten der rechtwinkeligen Dreiecke multiplizieren und durch zwei teilen - dann haben wir den Flächeninhalt. Ich bezeichne mal die obere Seite mit a, den linken Teil der oberen Site mit x und den rechten mit y. Wir erhalten: A=(x*h_a)/2+(y*h_a)/2=(x+y)*h_a/2=A=(a*h_a)/2 weil ja a=x+y. Toll, nicht? Bei Dreiecken mit einem stumpfen Winkel sieht das etwas anders aus, da darfst du dichj mal selbst spielen. Ein Tipp: zeichne es dir auf, zeichne dir das Rechteck aus Site und Höhe ein und versuche die Teile des Dreiecks, die jetzt ausserhalb liegen in das Rechteck "hineinzuklappen"... 3. Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Trapezes ?
Weil wir wir uns ja mit Dreiecken mittlerweile gut auskennen könnten wir einfach sagen: Ein Trapez ist nichts anderes, als ein Rechteck, an das links und rechts (wenn die parallelen Seiten oben und unten sind) noch ein Dreieck (netterweise sogar je ein rechtwinkeliges) "angestückelt" sind. Es gibt aber auch noch einen anderen Weg (der logischerweise zum gleichen Ergebnis führt): Wir nehmen wieder mal ein beliebiges Trapez her (bei mir ist es wieder gleichschenkelig, aber es geht auch mit anderen - einfach probieren):

______
/      \
/        \
/          \
/____________\

Ich mach jetzt einfach mal in der Mitte eine Linie quer durch:

    ______
/      \
__/________\__
/          \
/____________\

An den Schnittpunkten der Linie mit dem Trapez zeichne ich jetzt noch jeweils eine Senkrechte (am Papier, hier verlassen mich jetzt leider die gestalterischen Möglichkeiten). Diese Senkrechten teilen in der unteren Hälfte des Trapezes ein Dreieck ab, das - wie man leicht erkennen kann - genau gleich gross ist, wie die Dreiecke, die oben fehlen um aus den beiden parallelen Seiten des Trapezes und unseren neuen Senkrechten ein Rechteck zu machen. Logischerweise ist also der Flächeninhalt des Trapezes gleich dem Flächeninhalt unseres neuen Rechtecks. Bloss: Wie gross ist der? Die eine Seite des Rechtecks ist ja offensichtlich die Höhe des Trapezes. Die andere ist - auch das sollte nicht schwer zu zeigen sein - (a+c)/2 (also die obere plus die untere Seite durch zwei). Und wieder sind wir fertig :-) 4. Kennt ihr vielleicht eine gute Seite oder ein Buch, wo
solche Formlen auch für "Dumme" ;o) übersichtlich aufgelistet
sind ?
Befrag mal Google zu Formelsammlung und Geometrie. Gleich der erste Link führt uns hierhin: http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/mathe.htm
Dort findest du schon mal die einfacheren Formeln.
Etwas weitergehend (2. Link): http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Geometrie
Aus den anderen 24.298 Links darfst du dir selbst raussuchen, was dir gefällt ;-)

Hoffe das war einigermassen verständlich und hilft dir weiter. Vor allem aber sollte dir das eines zeigen: Mit etwas Übung (ja ich weiss, man braucht da einen Blick dafür, aber das kommt mit der Zeit) brauchst du dir nicht mehr alle Formeln merken, man kann ziemlich vieles auf die Schnelle herleiten.

Ach ja, an die Gurus unter euch: Mir ist durchaus klar, dass ich hier keine kompletten Beweise geführt habe. Ich wollte die Formeln ja auch gar nicht beweisen, sondern einfach nur herleiten ;-)

Gruß
Martin

Antwort von nach 9 Stunden 0 hilfreich

Re: Flächeninhalt eines Dreiecks

Hallo Larissa,

ganz einfach: Dreiecksfläche = immer Grunglinie mal Höhe durch 2, was immer Du als Grundlinie wählst. Beim Trapez ist es Grundlinie mal Höhe (einen Beweis will ich Dir hier nicht geben). Ein Buch dazu kenne ich nicht - ist so simpel, denk mal darüber nach.

Gruß

Gunter [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

Antwort von nach 9 Stunden 0 hilfreich

Re^2: Flächeninhalt eines Dreiecks

Hallo Gunter! Beim Trapez ist es Grundlinie mal Höhe
Das gilt aber nur für den Sonderfall des Trapezes mit Länge der Grundlinie = Länge der gegenüberliegenden Seite (gemeinhin auch Rechteck genannt *g*). (einen Beweis will ich Dir hier nicht geben).
Der dürfte für das allgemeine Trapez auch _etwas_ schwierig werden. Ein Buch dazu kenne ich nicht - ist so simpel, denk
mal darüber nach.
jaja *hihi*, nix für ungut und schöne gute Nacht noch,
Martin

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