Ich habe folgende Aufgabe:
Es sei V ein K-Vektorraum und f,g:V--->V zwei Morphismen. Zeige
Ker(f)[Vereinigungszeichen]Ker(g)[Untermengenzeichen] Ker(f+g).
K soll dabei ein beliebiger Körper sein.
Ich habe keine Ahnung wie ich an die Aufgabe überhaupt auch nur rangehen soll.
Irgendwie frustrierend...
Hallo
Ich habe folgende Aufgabe:
Es sei V ein K-Vektorraum und f,g:V--->V zwei Morphismen.
Zeige
Ker(f)[Vereinigungszeichen]Ker(g)[Untermengenzeichen]
Ker(f+g).
Kein Wunder, kannst Du diese Behauptung nicht beweisen. Auch ich kann es nicht, denn sie ist schlichtwegs falsch.
Nehmen wir als Körper R (reelle Zahlen) und V=RxR. Definieren wir f:V->V: (x,y)->(x,0), g:V->V:(x,y)->(0,y). Dann ist f+g:V->V:(x,y)->(x,y), d.h. die Identität. Es gilt
ker(f)={0}xR, ker(g)=Rx{0}, ker(f+g)={(0,0)}. Offenichtlich gilt die Inklusion nicht, die Du geschrieben hattest. Meintest Du etwa ker(f)[Durchschnittszeichen]ker(g)[Untermengenzeichen]ker(f+g)?
Gruss Urs
Meintest Du etwa
ker(f)[Durchschnittszeichen]ker(g)[Untermengenzeichen]ker(f+g)?
Gruss Urs
Falls ja dann ist der Beweis ganz einfach.
ker(f) = {x aus V | f(x)=0}
ker(g) = {x aus V | g(x)=0}
ker(f) geschnitten ker(g) = {x aus V | f(x)=0 und g(x)=0}
Sei x aus ker(f) geschnitten ker(g).
=> f(x)=0 und g(x)=0
=> (f+g)(x) = f(x)+g(x) = 0+0 = 0
=> x ist Element von ker(f+g)
Da dies für alle x aus ker(f) geschnitten ker(g) gilt ist
ker(f) geschnitten ker(g) eine Teilmenge von ker(f+g).
Frohe Weihnachten !
hendrik
Moment, moment. Jetzt bin ich verwirrt. Was ist das "umgedrehte U" für ein Zeichen?