Hi, ich frage mich gerade ob es so etwas wie Teilreihen gibt. Denn Unter einer Reihe versteht man ja die Folge der Partialsummen einer Folge. Wenn also eine Reihe eigentlich nichts anderes als eine Folge ist, dann müsste es doch auch Teilreihen geben?
Denn wenn dem so wäre, würde mir das bei der Bearbeitung meines Übungszettels ziemlich helfen und die Lösung wäre so schön elegant(zumindest für mich ;-) )
Hallo
Den Begriff Teilreihe gibt es. Aber ich bin nicht sicher, ob die mir bekannte Definition das gleiche meint, wie Du es gerne hättest.
Eine Teilreihe einer Reihe, ist eine Reihe, bei der nur ein Teil der Summanden der ursprünglichen Reihe aufsummiert werden, wobei die Reihenfolge beibehalten wird. Leider gilt nicht, dass mit einer Reihe auch jede Teilreihe konvergiert (z.b bei der alternierende harmonische Reihe sum_{n=1}^{oo}(-1)n/n, wenn Du nur die Summanden mit geraden Indizes nimmst).
Damit Du die Sätze über Teilfolgen anwenden kannst, musst Du die Reihe nehmen, die aus einer Teilfolge der Folge der Partialsummen entsteht. Dies entspricht dem Zusammenfassen von jeweils endlich vielen aufeinanderfolgenden Summanden zu einem einzigen Summand. Wenn Du dies gemeint hast, dann heisst das nach meinem Wissen nicht Teilreihe, aber das würde wahrscheinlich Dich Deinem Ziel näherbringen. Hier kannst Du natürlich alle Sätze über Teilfolgen auf die Folge der Partialsumme anwenden.
Gruss Urs
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Guten Tag!
Hi, ich frage mich gerade ob es so etwas wie Teilreihen gibt.
Denn Unter einer Reihe versteht man ja die Folge der
Partialsummen einer Folge.
Die Reihendefinition unter Verwendung der Partialsummen der zugehörigen Folge findet nur bei sogenannten "Unendlichen Reihen" Anwendung, weil auf diese Weise ein eventuell vorhandener Grenzwert bestimmt werden kann. Die Reihendefinition von endlichen Reihen kann entweder aufzählend oder unter Verwendung des Summenzeichen vorgenommen werden:
S = 2 + 4 + 6 + 8 (Summe von i=1 bis i=4 mit 2*i)
Wenn also eine Reihe eigentlich nichts anderes als eine Folge ist,
dann müsste es doch auch Teilreihen geben?
Es ist beliebt Reihen als Folgen zu bezeichnen, nur korrekt ist das nicht.
MfG Gerhard Kemme
Hallo
Hi, ich frage mich gerade ob es so etwas wie Teilreihen gibt.
Denn Unter einer Reihe versteht man ja die Folge der
Partialsummen einer Folge.
Die Reihendefinition unter Verwendung der Partialsummen der
zugehörigen Folge findet nur bei sogenannten "Unendlichen
Reihen" Anwendung, weil auf diese Weise ein eventuell
vorhandener Grenzwert bestimmt werden kann. Die
Reihendefinition von endlichen Reihen kann entweder aufzählend
oder unter Verwendung des Summenzeichen vorgenommen werden:
S = 2 + 4 + 6 + 8 (Summe von i=1 bis i=4 mit 2*i)
Wenn also eine Reihe eigentlich nichts anderes als eine Folge ist,
dann müsste es doch auch Teilreihen geben?
Es ist beliebt Reihen als Folgen zu bezeichnen, nur korrekt
ist das nicht.
MfG Gerhard Kemme
Da muss ich Dich aber korrigieren. Erstens schliesse ich aus der Formulierung der Frage, dass es sich um eine unendliche Reihe handelt. Kann mich aber täuschen. Aber es es korrekt zu sagen eine Reihe sei eine Folge. Ich führe das einmal etwas genauer aus. Ich gehe hier von einer unendlichen Reihe aus, geht aber genau so gut auch mit endlichen Reihen.
Gegeben sei eine Folge (an). Unter der Reihe sum_{n=1}^{oo}an versteht man die Folge der Partialsummen (sum_{n=1}^{k}an)k.
Genau genommen sind Reihen und Folgen genau die gleichen Objekte, nur wird bei den Folgen der Wert der einzelnen Folgenglieder angegeben, während es bei der Reihe die Differenzen zwischen den einzelnen Folgenglieder sind. D.h. die "Objekte" hinter den Begriffen der Folge und Reihe sind exakt die gleichen, nur ist die Notation etwas anders. Ich vermute übrigens, dass wenn Du eine Reihe aufzählend definierst, schreibst Du doch genau die Folge (!) der Partialsummen hin.
Leider wird "in der Schule" das oft nicht korrekt gemacht bzw. nicht wirklich erklärt.
Gruss Urs
Hallo
Erstens schliesse ich aus der Formulierung der Frage, dass es sich um
eine unendliche Reihe handelt.
Aber es ist korrekt zu sagen eine Reihe sei eine Folge. Ich führe das
einmal etwas genauer aus. Ich gehe hier von einer unendlichen Reihe
aus, geht aber genau so gut auch mit endlichen Reihen.
Gegeben sei eine Folge (an). Unter der Reihe
sum_{n=1}^{oo}an versteht man die Folge der
Partialsummen (sum_{n=1}^{k}an)k.
Genau genommen sind Reihen und Folgen genau die gleichen
Objekte, nur wird bei den Folgen der Wert der einzelnen
Folgenglieder angegeben, während es bei der Reihe die
Differenzen zwischen den einzelnen Folgenglieder sind. D.h.
die "Objekte" hinter den Begriffen der Folge und Reihe sind
exakt die gleichen, nur ist die Notation etwas anders.
Ein mathematischer Ausdruck für den ein bestimmter Begriff existiert, kann oft durch andere Ausdrücke dargestellt werden - nur ändert sich dadurch nicht der Begriff des ursprünglichen Ausdruckes:
Die Reihe 2 + 4 + 6 + 8 kann als eine Multiplikation 10 * 2 dargestellt werden - dies heißt nun nicht, dass Summen Produkte sind. Gemeint ist, dass eine unendliche Reihe als eine Folge von Teilsummen oder Partialsummen oder eben Teilreihen dargestellt werden kann. Dies erfüllt den Zweck, dass so ein eventueller Grenzwert berechenbar wird. Nur - nach Umformung eines Terms, der einen bestimmten Rechenoperator benutzt, in einen Term, der einen anderen Rechenoperator benutzt, ist der Begriff anders, z.B. Summen in Produkte verwandeln 6 + 15 = 3*(2+5) Hier kann man NICHT sagen, dass eine Summe ein Produkt sei
Ich vermute übrigens, dass wenn Du eine Reihe aufzählend
definierst, schreibst Du doch genau die Folge (!) der
Partialsummen hin.
Reihe ist mit dem Rechenoperator "+" zwischen den Gliedern und eine Folge hat keinen Rechenoperator dazwischen. Es ist wie bei den Mengen: Mengendarstellung in aufzählender Form einerseits oder solche in beschreibender Form andererseits, d.h. man könnte von einer "Reihendarstellung per Aufsummierung" und einer solchen in "Folgedarstellung" sprechen. Wie bei der Menge ist der grundlegende Begriff, der der Reihe!
MfG Gerhard Kemme
MfG Gerhard Kemme
Hallo
Es gibt exakte Definitionen, was eine Folge ist, und was eine Reihe ist. das sind gewisse mathematische Objekte.
Zitate aus Amman/Escher, Analysis I
Seite 141:
Es sei X eine Menge. Die Abbildungen von N in X werden wir von nun an meistens als Folgen bezeichnen.
Seite 195:
Es sei (xk) ein Folge in R. Dann definieren wir eine neue Folge (sn) in R durch
sn:=sum_{k=1}^{n}xk (n aus N)
Die Folge (sn) heisst Reihe in R.
Analoge Definitionen sind auch für endliche Folgen und Reihen möglich und sinnvoll.
Übrigens:
6 + 15 ist als Ausdruck eine Summe, bezeichnet aber auch eine Zahl, nämlich diejenige, die man erhält, wenn man die in diesem Ausdruck notierte Rechenanweisung ausführt (d.h. 21)
3*(2+5) ist als Ausdruck ein Produkt einer Zahl mit einer Summe, die ausgerechnet 21 ergibt
6 + 15 = 3*(2+5) ist eine Gleichung, die man als korrekt bezeichnet, weil wenn ich beide Seiten berechne, die Ausdrücke dieselbe Zahl bezeichnen.
Gruss Urs
Hallo
Es gibt exakte Definitionen, was eine Folge ist, und was eine
Reihe ist. das sind gewisse mathematische Objekte.
Zitate aus Amman/Escher, Analysis I
Wieviel Bücher hast du schon geschrieben? Wissenschaft heißt auch immer kritische Prüfung von Printmedien und nicht unbedingt "was du schwarz auf weiß besitzt, darfst du getrost nach Hause tragen".
Seite 141:
Es sei X eine Menge. Die Abbildungen von N in X werden wir von
nun an meistens als Folgen bezeichnen.
Nur - wie ist der Abbildungsvorgang bei einer Reihe?: Es werden Elemente aus N auf Terme abgebildet, deren Anordnung man dann als Folge bezeichnet. Die Aufsummierung der Glieder einer Folge nennt man dann Reihe
Seite 195:
Es sei (xk) ein Folge in R. Dann definieren wir
eine neue Folge (sn) in R durch
sn:=sum_{k=1}^{n}xk (n aus N)
Die Folge (sn) heisst Reihe in R.
Alles Mögliche kann definiert werden, d.h. der Autor eines mathematischen Textes gibt bestimmten mathematischen Gebilden Namen. Danach wird ja diese Aufsummierung von ihm als "Reihe" bezeichnet. Es gibt nun einmal bestimmte Fraktionen, die tradierte Begriffe gerne abschaffen würden - somit wird in "Diplomatensprache" eine Art von Vermittlung zwischen unterschiedlichen Auffassungen vorgenommen.
Hier sollte geprüft werden, ob es sinnvoll ist, den Begriff der Reihe einfach abzuschaffen und als nicht weiter differenzierten Oberbegriff nur den Begriff der "Folge" zu verwenden. Kriterium wäre dann immer, ob solche Verhaltensweise allgemeine Norm werden könnte, z.B. die Ersetzung der Bezeichnung "Tasse" für ein spezielles Trinkgefäß durch die Verwendung des Oberbegriffes "Geschirr": "Möchten sie ein "Klein-Geschirr" mit Kaffee oder ein "Groß-Geschirr" (Cup)? Gleichmacherei von unterschiedlichen mathematischen Objekten ist Einschränkung des Denkens.
MfG Gerhard Kemme
Hallo
Diese Begriffsbildung ist nicht eine Eintagesfliege eines einzelnen Autors, sondern das findest Du in fast jedem mathematischen Buch über Analysis.
Es macht keine Sinn hier weiterzudiskutieren. Ich möchte aber mindestens feststellen, dass Timos ursprüngliche Aussage
Wenn also eine Reihe eigentlich nichts anderes als eine Folge ist
auf jeden Fall nicht berechtigterweise mit Deiner Aussage
Es ist beliebt Reihen als Folgen zu bezeichnen,
nur korrekt ist das nicht.
beantwortet werden kann. Mindestens mit der Begriffsbildung der Reihe, wie sie üblicherweise an Hochschulen gelehrt wird, war Timos ursprüngliche Aussage korrekt.
Gruss Urs