wert skript Gleichungen Beispiel Kreuz Form

Unterraum durch Gleichungen beschreiben

Von: , Frage gestellt am Mi, 2. Feb 2005

Hi, ich habe mal eine Frage zu Unterräumen:
Und zwar steht in meinem Skript, dass man Unterräume nicht nur durch Angabe einer Basis beschreiben kann, sondern auch durch ein Gleichungsystem der Form
Mat(m[Kreuz]n,K), x € K^n und Ax=0. Was ich nun nicht kapiere, ist warum das LGS Ergebnis der Gleichungen immer 0 sein muss. Können das nicht auch andere Werte sein? Wenn ich zum Beispiel an meine Schulzeit denke, haben wir Ebenen in 3D (was ja auch Unterräume im R^3 sind) mit Gleichungen der Form ax1+bx2+cx3=d, bzw ax1+bx2+cx3-d = 0 beschrieben. Wie passt das beides zusammen?
gruss,
timo

3 Antworten zu dieser Frage

1. Antwort von nach 18 Minuten 0 hilfreich

   Re: Unterraum durch Gleichungen beschreiben

   Hallo.
   
   Leider muss ich etwas spekulieren: in der Gleichung ax1+bx2+cx3-d=0 kann d auch den Wert 0 haben. Rein algebraisch wäre das dann eine Nebenklasse oder in der Computergeometrie eine Translation einer Ebene in R^3 um den Faktor d. Allerdings ist der Fall d=0 wesentlich leichter zu berechnen. Vielleicht deswegen und vor allem, weil die Unterräume dieselbe Struktur besitzen und es weniger auf konkrete Koordinaten derselben ankommt...(=nur das Objekt interessiert, nicht dessen Position im R^3)
   Ausserdem ist d=0 der homogenere (allgemeine) Fall eines LGS.
   
   Aber wie gesagt: das ist ein bisschen spekuliert ;-)
   HTH
   mfg M.L.
   

2. Antwort von nach 48 Minuten 1 hilfreich

   Re: Unterraum durch Gleichungen beschreiben

   Hallo
   
   ich habe mal eine Frage zu Unterräumen: Und zwar steht in meinem Skript, dass man Unterräume nicht nur
   durch Angabe einer Basis beschreiben kann, sondern auch durch
   ein Gleichungsystem der Form
   Mat(m[Kreuz]n,K), x € K^n und Ax=0. Was ich nun nicht kapiere,
   ist warum das LGS Ergebnis der Gleichungen immer 0 sein muss.
   Können das nicht auch andere Werte sein? Wenn ich zum Beispiel
   an meine Schulzeit denke, haben wir Ebenen in 3D (was ja auch
   Unterräume im R^3 sind) mit Gleichungen der Form
   ax1+bx2+cx3=d, bzw ax1+bx2+cx3-d = 0 beschrieben. Wie passt
   das beides zusammen?
   Es muss tatsächlich immer Ax=0 sein, wenn der Lösungsraum ein Unterraum sein muss. In einem Unterraum muss nach Definition immer der Nullvektor x=0 drin sein und es gilt A0=0.
   Das Gleichungssystem Ax=c ergibt keinen Unterraum, falls c<>0, sondern einen affinen Raum. Das ist grob gesagt ein Unterraum, der noch um einen Vektor geschoben wurde. Im R³ sind das zum Beispiel die Ebenen und Geraden und Punkte.
   
   Gruss Urs
   

3. Antwort von nach 9 Stunden 0 hilfreich

   Re: Unterraum durch Gleichungen beschreiben

   Danke für die Hilfe! Habs jetzt verstanden
   

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