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Newtonsches Näherungsverfahren

Von: , Frage gestellt am Sa, 12. Feb 2005

Hallo,

habe mir mal folgende Funktion zeichnen lassen:
f(x) = -e^(-1/4*x)*(4+3*x)

wenn man die Kurve anschaut, sieht man, dass es zwei Tangenten mit dem Anstieg 1/e gibt.
also muss die Gleichung f'(x)=1/e auch zwei Lösungen haben.
Hab es mal mit Maple nummerisch errechnen lassen. Maple bekommt aber nur eine Lösung raus: x1=4
Die andere Lösung müsste bei ca. x2=12 liegen.
Habe dann mit Maple das Newtonsche Näherungsverfahren angewendet, um die zweite Lösung zu erhalten, aber der Algorithmus konvergiert nicht -- es kommt also nix raus :-/
Um einen Fehler auszuschließen, habe ich das Newton-Verfahren an einer einfachen Quadratischen Gleichung angewandt. Dort klappt es.

Warum bekomme ich mit dem Newtonverfahren aber bei meiner Aufgabe keine Lösung heraus (die 4 bekomme ich damit auch nicht raus)?

Danke

10 Antworten zu dieser Frage

1. Antwort von nach 2 Stunden 0 hilfreich

   Re: Newtonsches Näherungsverfahren

   Hi,
   Wie kann man denn am Graph der Funktion absehen, dass die Steigung an 2 Punkten 1/e ist? Ich meine ich hab mir das Ding auch mal zeichnen lassen und kann das nicht auf Anhieb sehen. Ich glaube, dass dich da dein Auge getäuscht hat und würde auf die Lösungsmenge vertrauen, die dir Maple ausgespuckt hat.
   Gruss,
   Timo
   

   • Antwort von nach 2 Stunden 0 hilfreich

     Re^2: Newtonsches Näherungsverfahren

     Wenn ich mir die Tangente durch den Punkt(4|f(4)) zeichnen lasse, sieht man eindeutig, dass es noch eine weitere Tangente gibt. Ergo muss es noch eine Lösung geben. [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
     

     • Antwort von nach 2 Stunden 0 hilfreich

       Re^3: Newtonsches Näherungsverfahren

       N`Abend :-)
       
       Damit das Newtonverfahren überhaupt greift müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
       - Startpunkt möglichst nahe an einem der Ergebnisse
       - da x^(i+1) = g(x^î) gilt, konvergiert die Iteration für |g'(x^i)|<1
       - f'(x) muss für alle x existieren ;-)
       
       Fleissiges Weiterechnen wünsche ich noch
       mfg M.L.
       

       • Antwort von nach 19 Stunden 0 hilfreich

         danke (o. T.)

         leer
         

2. Antwort von nach 2 Stunden 0 hilfreich

   Re: Newtonsches Näherungsverfahren

   Hallo,
   habe mir mal folgende Funktion zeichnen lassen:
   f(x) = -e^(-1/4*x)*(4+3*x)
   
   Wie ist die Funktion zu verstehen
   f(x) = -e^((-1/4*x)*(4+3*x)) oder
   f(x) = -(e^(-1/4*x))*(4+3*x)
   Warum bekomme ich mit dem Newtonverfahren aber bei meiner
   Aufgabe keine Lösung heraus (die 4 bekomme ich damit auch
   nicht raus)? Wenn Du mir das mitteilst, kann ich etwas mehr dazu sagen.
   Wenn man die mathematischen Formulierungen der Beweise, dass das Newtonverfahren funktioniert anschaut, werden meistens zusätzliche Forderungen an die Funktion gestellt. Sie darf sich grob gesagt nicht zu wild verhalten (was das auch immer heisst). Zum Beispiel ist die Ableitung 0 gefährlich oder ein Wechsel der Biegungsrichtung, stark oszilierende Funktionen. Man hat also keineswegs die Gewähr, dass es immer funktionieren muss, das heisst, dass die Approximation wirkloch konvergiert.
   Man hat immerhin die Garantie, dass falls die Approximation konvergiert, der Grenzwert eine Lösung ist, falls die Funktion stetig ist.
   
   Gruss Urs
   

   • Antwort von nach 2 Stunden 0 hilfreich

     Re^2: Newtonsches Näherungsverfahren

     Wie ist die Funktion zu verstehen
     f(x) = -e^((-1/4*x)*(4+3*x)) oder
     f(x) = -(e^(-1/4*x))*(4+3*x)
     ==> sie ist so zu verstehen, wie sie dasteht :-) Also Fall 2
     
     OK -- also ist das Verfahren nicht immer anwendbar. Verstehe. Scheint also in meinem Fall zuzutreffen.
     
     Ajo
     
     Danke bisher
     

     • Antwort von nach 3 Stunden 0 hilfreich

       Re^3: Newtonsches Näherungsverfahren

       Wie ist die Funktion zu verstehen
       f(x) = -e^((-1/4*x)*(4+3*x)) oder
       f(x) = -(e^(-1/4*x))*(4+3*x)
       ==> sie ist so zu verstehen, wie sie dasteht :-) Also Fall
       2
       War mir nicht sicher, aber Du hast recht, es ist im Prinzip die Variante, wie es dasteht. OK -- also ist das Verfahren nicht immer anwendbar. Verstehe.
       Scheint also in meinem Fall zuzutreffen.
       
       Ich habe es schnell mit Maple getestet und das Newtonverfahren funktioniert und liefert beim Startwert 12 das Ergebnis 11.61525478 und bei Startwert 3 das Ergebnis 4. Du musst irgendwetwas falsch eingetippt haben.
       
       Übrigens sieht man diese Nullstellen auch wirklich klar, wenn man die Ableitung aufzeichnet. Im Graphen von f selbst, würde man es aber nicht vermuten.
       Gruss Urs
       

       • Antwort von nach 19 Stunden 0 hilfreich

         Re^4: Newtonsches Näherungsverfahren

         Ich habe es schnell mit Maple getestet und das Newtonverfahren
         funktioniert und liefert beim Startwert 12 das Ergebnis
         11.61525478 und bei Startwert 3 das Ergebnis 4. Du musst
         irgendwetwas falsch eingetippt haben.
         ==> Da ich den Maple-Befehl für das Newtonverfahren nicht kenne, habe ich es von Hand gemacht - war in etwa so:
         f := ....;
         f1:= diff(f,x);
         x0:=3;
         
         x0:=x0 - subs(x=x0,f)/subs(x=x0,f1);
         
         den letzten Befehl hab ich dann mehrmals ausgeführt und hat mir bei der quadratischen Testgleichung die richtigen Ergebnisse geliefert.
         Verrätst du mir den Maplebefehl? Danke Übrigens sieht man diese Nullstellen auch wirklich klar, wenn
         man die Ableitung aufzeichnet. Im Graphen von f selbst, würde
         man es aber nicht vermuten.
         ==> Stimmt, bei der Ableitungsfunktions sind die Nullstellen ja die entsprechenden Stellen :-)
         Aber ich hatte noch die Skizze aus einer bestimmten Mathe aufgabe. Und dort sollte man Tangenten mit dem Anstieg 1/e finden. Die Normale dazu war gegeben (y=-ex). Man konnte dann auch durch Verschieben sehen, wo es Tangenten gibt. Aber hast Recht: Ableitung zeichnen lassen ist noch effektiver.
         
         Gruß
         
         Ajo
         

         • Antwort von nach 19 Stunden 0 hilfreich

           Re^5: Newtonsches Näherungsverfahren

           Hallo ==> Da ich den Maple-Befehl für das Newtonverfahren nicht
           kenne, habe ich es von Hand gemacht - war in etwa so:
           f := ....;
           f1:= diff(f,x);
           x0:=3;
           
           x0:=x0 - subs(x=x0,f)/subs(x=x0,f1);
           
           den letzten Befehl hab ich dann mehrmals ausgeführt und hat
           mir bei der quadratischen Testgleichung die richtigen
           Ergebnisse geliefert.
           Das scheint vollkommen in Ordnug zu sein, wenn Du auch die richtige Funktion einsetzt. Hast Du als Funktion tatsächlich f'-1/e genommen. Dies ist die richtige Funktion, denn Du suchst mit Newton nach Nullstellen. Ich möcht Dir hiermit nicht unterstellen, dass Du das nicht auch weisst, aber manchmal scheitert man an solch doofen Kleinigkeiten. Verrätst du mir den Maplebefehl? Danke
           In der Hilfe zu Maple nach NewtonsMethod suchen:
           with(Student[Calculus1]):NewtonsMethod(f(x), x = a, opts)
           
           Ob das with(...): notwenig ist, bin ich nicht sicher, aber im Beispiel wird es so gemacht. a ist übrigens der Startwert. Bei opts kannst Du zum Beispiel die Anzahl der Iterationen festlegen (iterations= n, wobei n die Anzahl der Iterationen ist).
           Weiter Informationen findest Du in der Hilfe.
           
           Viel Spass beim rumprobieren.
           
           Gruss Urs
           

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