komplexe Wechselstromrechnung | aus Forum Physik

komplexe Wechselstromrechnung

Von: , Frage gestellt am Mi, 16. Feb 2005

Hallo,
im Rahmen einer Facharbeit im Fach Informatik an einem nordrheinwestfälischen Gymnasium habe ich ein Programm zur Berechnung von Blindwiderstand(/Leistung), Scheinwiderstand(/Leistung) und Wirkwiderstand(/Leistung) im Wechselstromkreis in Delphi geschrieben.

Die Berechnungen sollen sowohl für die Reihenschaltung von Spule, Kondensator und ohmschem Widerstand, als auch für die Parallelschaltung der gleichen Bauelemente möglich sein.

Die Berechnungen für die Reihenschaltung konnte Ich bereits durch im Internet verfügbare Applets überprüfen und somit feststellen, dass dieser Bereich des Programms bereits fehlerfrei funktioniert.

Ein "Problem" stellt nun die Parallelschaltung dar:
Ich habe die benötigten Formeln zwar soweit ins Programm integriert, mir steht jedoch keine Vergleichsmöglichkeit zur Verfügung, da ich im Internet keine Beispielrechnung zur Parallelschaltung mit eingesetzten Werten finden konnte.

Meine Bitte ist nun entweder mir zu sagen, ob die nachfolgend angegebenen Ergebnisse des Programms richtig sind, oder wenn mir alternativ eine Internetseite mit Beispielrechnungen für die Parallelschaltung zu nennen.

Ergebnisse, mit der Bitte sie zu überprüfen:

Parallelschaltung von ohmschem Widerstand und Kondensator:
f = 50 Hz
U = 230 V
R1 = 150 Ohm
C1 = 10 µF

die Ergebnisse, die das Programm dazu liefert sind folgende:

Wirkwiderstand: 150 Ohm
Blindwiderstand: -318,30 Ohm
Scheinwiderstand: 135,68877 Ohm

phi = 64,76°
cosphi = 0,42627 (gut, <= das kann ich auch ohne in Zweifel zu geraten auch selbt noch nachrechnen ;-) )

Ich wäre nun sehr dankbar, wenn mir jemand etwas zu den Ergebnissen sagen kann, ich konnte mir von dem Gebiet bislang leider nur einen sehr groben Überblick verschaffen, da ich das Thema sehr kurzfristig zugeteilt bekam.

Eine weitere Frage bleibt noch, nämlich wie das ganze bei der Parallelschaltung aussieht, wenn eine Spule beteiligt ist.
Wenn man von einer idealen Spule ausgeht, dann müsste der Strom, der durch diese Spule fließt doch theoretisch unendlich groß werden, oder?
Wie sieht das bei Wechselstrom aus, stimmt diese Überlegung?

Fragen über Fragen und ich verbleibe in der Hoffnung auf baldige Klärung dieser in Form von Antworten ;-),
vielen Dank im voraus,
Carsten

23 Antworten zu dieser Frage

Antwort von nach einer Stunde 0 hilfreich

Re: komplexe Wechselstromrechnung

Guten Tag!
Auf dieser Seite, http://www.walter-fendt.de/ph14d/kombirlc.htm ,
findest du ein schönes Java-Applet, das dir hoffentlich weiterhelfen kann. Es gibt zwar die Impedanz aus, doch ich glaube in dieser komplexen Größe steckten deine 3 gesuchten Widerstände.
Hoffe ich konnte helfen.

Antwort von nach 3 Stunden 0 hilfreich

Re: komplexe Wechselstromrechnung

Hallo Carsten, Parallelschaltung von ohmschem Widerstand und Kondensator:
f = 50 Hz
U = 230 V
R1 = 150 Ohm
C1 = 10 µF
die Ergebnisse, die das Programm dazu liefert sind folgende:

Wirkwiderstand: 150 Ohm
Blindwiderstand: -318,30 Ohm
Scheinwiderstand: 135,68877 Ohm
Die Resultat stimmen so weit. Die Spannung U ist irrelevant, sie wird in Deinem Programm sicherlich auch gar nicht verarbeitet, es sei denn, Du möchtest auch Einzelspannungen bzw. Einzelströme ausgeben.

Gruß

Dieter

Antwort von nach 4 Stunden 0 hilfreich

Re^2: komplexe Wechselstromrechnung

Hallo Dieter, Parallelschaltung von ohmschem Widerstand und Kondensator:
f = 50 Hz
U = 230 V
R1 = 150 Ohm
C1 = 10 µF
die Ergebnisse, die das Programm dazu liefert sind folgende:

Wirkwiderstand: 150 Ohm
Die Resultat stimmen so weit.
da irrst Du Dich leider, denn der Wirkwiderstandsanteil einer RC-Parallelschaltung ist nicht gleich R.

Gruß
Martin
- Antwort von nach 12 Stunden 0 hilfreich
  
  Re^3: komplexe Wechselstromrechnung
  
  Hallo, da irrst Du Dich leider, denn der Wirkwiderstandsanteil einer
  RC-Parallelschaltung ist nicht gleich R.
  Doch, denn laut Definition ist das derjenige Widerstand, bei dem Strom und
  Spannung in Phase sind. Man kann es ja auch über die Leitwerte machen: Bei
  Parallelschaltung addieren sich diese vektoriell zum Scheinleitwert. Der
  Wirkleitwert ist 1/R, und davon der Kehrwert ist wiederum der Wirkwiderstand R.
  
  Natürlich ist im Gegensatz zur Serienschaltung der Gesamtstrom zum Wirkstrom
  phasenverschoben, das ändert aber nichts an der Tatsache, dass nur am Widerstand
  R auch eine Wirkleistung umgesetzt wird, nirgends anders.
  
  Gruß
  
  Dieter

Antwort von nach 4 Stunden 1 hilfreich

Re: komplexe Wechselstromrechnung

Hallo Carsten, Parallelschaltung von ohmschem Widerstand und Kondensator:
f = 50 Hz
U = 230 V
R1 = 150 Ohm
C1 = 10 µF

die Ergebnisse, die das Programm dazu liefert sind folgende:

Wirkwiderstand: 150 Ohm
"150 Ohm" ist schon falsch. Der Wirkwiderstand einer RC-Parallelschaltung ist nicht gleich dem Wert von R (dies trifft auf eine RC-Serienschaltung zu, aber nicht auf eine Parallelschaltung!), sondern gegeben durch R/(1 + (w R C)^2). Blindwiderstand: -318,30 Ohm
Scheinwiderstand: 135,68877 Ohm
Diese Werte dürften ebenfalls nicht korrekt sein. Eine weitere Frage bleibt noch, nämlich wie das ganze bei der
Parallelschaltung aussieht, wenn eine Spule beteiligt ist.
Wenn man von einer idealen Spule ausgeht, dann müsste der
Strom, der durch diese Spule fließt doch theoretisch unendlich
groß werden, oder?
Wie sieht das bei Wechselstrom aus, stimmt diese Überlegung?
Nein. Das wäre bei Gleichstrom der Fall, aber nicht bei Wechselstrom. Legst Du an eine ideale Spule eine Wechselspannung an, dann fließt ein endlich großer Strom der Stärke I = U/(w L), der jedoch ein reiner Blindstrom ist (Phasenverschiebung zw. U und I = 90°). Ein solcher Blindstrom transportiert während einer Halbwelle Energie zur Spule, bringt sie aber in der darauffolgenden auch komplett wieder zurück. Somit bleibt im zeitlichen Mittel keine Energie in einer idealen Spule hängen, weshalb sie auch nicht warm wird. Das andere Extrem ist der rein ohmsche Widerstand: Der in einem solchen fließende Strom ist ein reiner Wirkstrom (U und I in Phase), der zu jedem Zeitpunkt Energie von der Quelle zum Widerstand transportiert, und niemals das kleinste bischen zurück. Deshalb wird ein Widerstand "maximal warm". Bei Zusammenschaltungen von Widerständen, Spulen und Kondensatoren sind die in den Zuleitungen zur Quelle fließenden Ströme ein "Blindstrom-Wirkstrom-Mix" (mathematisch korrekt: additive Überlagerung). Wie groß der Wirkanteil und der Blindanteil in einem konkreten Fall sind, hängt von der Phasenverschiebung zwischen U und I ab.

Wie berechnet denn Dein Programm aus den Inputs die Ergebnisse? Das kannst Du nämlich "schlau" machen, und "weniger schlau". Wenn Du fünf Bücher durchstöberst, bis Du endlich in einem die monströsen Formeln für eine RLC-Parallelschaltung gefunden hast, um sie dann so wie sie sind in Deinen Programmcode einzufügen, dann fällt das eigentlich in die Kategorie "Holzhammer-Methode". Viel eleganter wäre, Dein Programm ausschließlich mit den _grundlegenden_ Formeln auszustatten. Da diese komplexer Natur sind, mußt Du dem Programm das Rechnen mit komplexen Zahlen beibringen. Das ist aber weit weniger wild, als Du vielleicht glaubst. Dafür bekommst Du einen dicken Vorteil, nämlich den, daß sich der benötigte Formelapparat auf die absoluten "Basics" reduziert, nämlich:

1a) Der komplexe Wechselstromwiderstand (KWSW) eines Widerstands beträgt...
1b) ...eines (idealen) Kondensators...
1c) ...einer (idealen) Spule...

2a) Bei einer Reihenschaltung von KWSWen ergibt sich der Gesamt-KWSW zu...
b) ...Serienschaltung...

3a) Der Wirkanteil eines eines KWSWs ist gleich...
3b) ...Blindanteil...
3c) Die Impedanz eines KWSWs beträgt...

(alle "..." bitte selbst in Erfahrung bringen/überlegen)

Die "Komplexe-Zahlen-Rechen-Fähigkeiten", über die Dein Programm verfügen muß, besteht aus folgenden Funktionen:
- komplexe Zahlen addieren,
- den Kehrwert einer k. Zahl berechnen,
- den Betrag einer k. Zahl berechnen,
- den Phasenwinkel einer k. Zahl berechnen.
- und falls Du noch Leistungen berechnen willst: k. Zahlen miteinander multiplizieren

Sämtliche Punkte sind – das nötige Wissen über komplexe Zahlen vorausgesetzt – sehr einfach zu implementieren (das ist ja der Witz an der Sache). Und trotzdem, bzw. gerade deswegen wäre Dein Programm prinzipiell in der Lage, RCL-Zusammenschaltungen praktisch beliebiger Komplexität ("R parallel zu C, dazu in Serie L, dazu parallel R, und zu allem noch ein C in Serie") numerisch zu berechnen.

Mit freundlichem Gruß
Martin

Antwort von nach 7 Stunden 0 hilfreich

Re^2: komplexe Wechselstromrechnung

Hallo und vielen Dank schonmal,

mit dem Rechnen mit komplexen Zahlen habe ich mich bereits beschäftigt und hatte auch vor, die von dir genannte Methode dem Programm diese Fähigkeiten "beizubringen" zu nutzen, da ich eh schon einmal ein anderes Programm zu den komplexen Zahlen geschrieben habe, welches diese Berechnungen beherrschte. Der Fehler liegt, wenn ich das richtig sehe in der fehlerhaften Kehrwertbildung, die ich bis jetzt nie benötigt hatte, was aber auch kein Problem darstellen sollte. Die "Komplexe-Zahlen-Rechen-Fähigkeiten", über die Dein
Programm verfügen muß, besteht aus folgenden Funktionen:
- komplexe Zahlen addieren
wenn ich das richtig sehe, brauche ich das primär für die Reihenschaltung? - den Kehrwert einer k. Zahl berechnen,
für die Leitwerte? - den Betrag einer k. Zahl berechnen,
für den Scheinwiderstand? - den Phasenwinkel einer k. Zahl berechnen.
für die Phasenverschiebung? - und falls Du noch Leistungen berechnen willst: k. Zahlen
miteinander multiplizieren
wie ich komplexe Zahlen multipliziere ist eigentlich klar, nämlich nach diesem Schema: (a+bi)(c+di) = ac+adi+cbi-bd = ac - bd + (ad + cb)i . Doch wenn ich die Leistung berechnen will, brauche ich doch eigentlich nur Stromstärke, Spannung, sowie cos phi. Weshalb muss ich dazu komplexe Zahlen multiplizieren?

Vielen Dank nocheinmal, deine Antwort hat mir sehr geholfen,
Carsten
- Antwort von nach 10 Stunden 0 hilfreich
  
  Re^3: komplexe Wechselstromrechnung
  
  Hallo,
  
  wie ich sehe, bist Du auf dem richtigen Weg. Hast Du Dir schon ein paar wilde Schaltungen ausgedacht? Folgendes kannst Du mal probieren: Eine RLC-Serie parallel zu einer zweiten RLC-Serie, wobei die Rs und die Cs gleiche Werte haben, aber ein L das 10fache des anderen ist. Dann siehst Du im Stromstärke-gegen-Omega-Plot (mach am besten einen sog. "Bode-Plot", indem Du die Omega-Achse _logarithmisch_ skalierst) schön zwei Resonanzpeaks, von denen der niederfrequente schärfer ist. Die "Komplexe-Zahlen-Rechen-Fähigkeiten", über die Dein
  Programm verfügen muß, besteht aus folgenden Funktionen:
  - komplexe Zahlen addieren
  wenn ich das richtig sehe, brauche ich das primär für die
  Reihenschaltung?
  Sowohl für die Reihen- als auch die Parallelschaltung. In beiden Fällen steht in der jeweiligen Gleichung für den Gesamt-KWSW ein "+". - den Kehrwert einer k. Zahl berechnen,
  für die Leitwerte?
  Ja. Irgendwo addieren sich da gewisse Einzel-Leitwerte zu einem gewissen Gesamt-Leitwert (Details bitte selbst recherchieren). - den Betrag einer k. Zahl berechnen,
  für den Scheinwiderstand?
  Ja, für die Impedanz. Mit "Scheinwiderstand" muß man immer aufpassen, weil das Wort in zweierlei Bedeutung verwendet wird: 1. Als Synonym zu "Impedanz" (die stets eine reelle Größe ist, denn sie ist ja der Betrag des KWSWs), und 2. als Synonym zum komplexen Wechselstromwiderstand. Die Begriffe Impedanz und komplexer W.stromwiderstand sind dagegen eindeutig. - den Phasenwinkel einer k. Zahl berechnen.
  für die Phasenverschiebung?
  Ja. Doch wenn ich die Leistung berechnen will,
  brauche ich doch eigentlich nur Stromstärke, Spannung, sowie
  cos phi. Weshalb muss ich dazu komplexe Zahlen multiplizieren?
  Du mußt es nicht. Die benötigte Formel ist
  
  P = 1/2 U^ I^ cos(phi)
  
  bzw. mit den Effektivwerten formuliert
  
  P = Ueff Ieff cos(phi).
  
  Darin geht es rein reell zu: U^ = reelle Spannungsamplitude, I^ = reelle Stromamplitude, sowie phi = Phasenverschiebung zwischen U und I. Komplex multipliziert wird in dem Ausdruck, der "hinter" den beiden obigen Formeln steht, und den ich im Kopf hatte, nämlich
  
  1/2 Re(U^ * I^).
  
  Dies ist allgemein die Leistung, die ein linearer Zweipol im zeitlichen Mittel dissipiert (= in Wärme verbrät). Das "Re" ist der Realteil, U^ die komplexe Amplitude der an dem Zweipol anliegenden Spannung, und I^ die komplexe Amplitude des fließenden Stroms. Das "U^ * I^" ist also ein Komplexe-Zahlen-Produkt.
  
  Mit freundlichem Gruß
  Martin
  - Antwort von nach 22 Stunden 0 hilfreich
    
    Re^4: komplexe Wechselstromrechnung
    
    Hallo, wie ich sehe, bist Du auf dem richtigen Weg. Hast Du Dir
    schon ein paar wilde Schaltungen ausgedacht? Folgendes kannst
    Du mal probieren: Eine RLC-Serie parallel zu einer zweiten
    RLC-Serie, wobei die Rs und die Cs gleiche Werte haben, aber
    ein L das 10fache des anderen ist. Dann siehst Du im
    Stromstärke-gegen-Omega-Plot (mach am besten einen sog.
    "Bode-Plot", indem Du die Omega-Achse _logarithmisch_
    skalierst) schön zwei Resonanzpeaks, von denen der
    niederfrequente schärfer ist.
    Vielen Dank für die Tipps, ich weiß jedoch noch nicht wie weit ich mit dem Programm noch gehen kann, da mein Abgabetermin näher rückt und ich auch eine 8-12 seitige Dokumentation schreiben muss, aber wenn Zeit bleibt werde ich deine Vorschläge mit großem Dank beherzigen.
    
    Beim von dir genannten Stromstärke-gegen-Omega-Plot würde ich also Stromstärke auf der Y-Achse und die Kreisfrequenz auf der logarithmisch skalierten X-Achse darstellen?
    
    Mit der Resonanz habe ich mich in diesem Zusammenhang noch nicht beschäftig, da ich zunächst ersteinmal dafür sorgen wollte, dass die Widerstandsberechnungen richtig funktionieren, was sie jetzt anscheinend tun.
    Ich hatte schon vor meiner Anfrage hier im Forum einen Datentyp erstellt, der die komplexe Zahl aufnimmt, sodass ich jetzt nur noch eine Funktion zum addieren und eine zur Bildung des Kehrwertes schreiben brauchte.
    
    Ich werde also jetzt noch ein wenig Richtung Resonanz weiter"forschen", vielen Dank für die erneut so schnelle Antwort,
    Carsten
    - Antwort von nach einem Tag 1 hilfreich
      
      Re^5: komplexe Wechselstromrechnung
      
      Hallo, Beim von dir genannten Stromstärke-gegen-Omega-Plot würde ich
      also Stromstärke auf der Y-Achse und die Kreisfrequenz auf der
      logarithmisch skalierten X-Achse darstellen?
      genau. Stell 1/|Z| auf der Y-Achse dar; der Graph gibt dann den Scheinstrom an (der ist ja proportional zu 1/|Z|). Zu einem vollständigen Bode-Plot gehört auch noch die U/I-Phasenverschiebung, die durch phi = arctan(Im(Z)/Re(Z)) gegeben ist. Die logarithmische Skalierung der w-Achse ist dringend zu empfehlen, auch wenn die Umrechnung der Pixelkoordinaten in die zugehörigen w-Werte schwieriger ist. Bei linearer Skalierung würden z. B. Resonanzpeaks gar nicht als "Buckel" oder "Nadeln", sondern stark asymmetrisch ("sägezahn"-förmig) erscheinen. Und was würdest Du machen, wenn Du eine Schaltung mit zwei Peaks hast, von denen einer bei 0.001 Hz und der andere bei 10 kHz liegt?
      
      Zwei weitere aufschlußreiche Größen wären der Leistungsfaktor (= Re(Z)/|Z|; bestimmt den Wirkstrom und die Wirkleistung) und der Blindfaktor (= Im(Z)/|Z|; bestimmt den Blindstrom und die Blindleistung).
      
      Die Größen Wirk[Blind]widerstand[leitwert], also Re(Z), Im(Z), Re(1/Z) und Im(1/Z) sind dagegen weniger interessant. Mit der Resonanz habe ich mich in diesem Zusammenhang noch
      nicht beschäftig,
      Stell Dir einen RLC-Serienkreis vor. Bei sehr hohen ws ist die Spule "undurchlässig"; es fließt kaum ein Strom. Bei sehr kleinen Frequezen ist dagegen der Kondensator "undurchlässig"; es fließt ebenfalls kaum ein Strom. Bei irgendeinem w "in der Mitte" (das durch L und C bestimmt ist; siehe "Thomsonsche Schwingkeisformel"), sind sowohl der Kondensator als auch die Spule gerade so "halb durchlässig", daß der fließende Strom dort maximal ist. Dieses w ist das "Resonanz-w". Die Stromkurve I(w) hat dort einen – in Abhängigkeit von R mehr oder weniger stark ausgeprägten – "Buckel".
      
      Mit freundlichem Gruß
      Martin

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