basis Definition topologie Metrik

topologie

Von: , Frage gestellt am Mo, 21. Feb 2005

hallo koleginnen und kollegen,

ich suche einen metrischen raum der aa1 erfüllt aber nicht aa2

danke martin

1 Antworten zu dieser Frage

1. Antwort von nach 7 Stunden 0 hilfreich

   Re: topologie

   Hallo
   ich suche einen metrischen raum der aa1 erfüllt aber nicht aa2
   
   Folgendes Beispiel sollte es tun:
   X: überabzählbare Menge (z.B. R)
   Metrik gegeben durch d(x,y) = 0, falls x=y, d(x,y)=1 falls x<>y
   
   Es ist einfach nachzurechnen:
   1. Durch diese Definition wird eine Metrik definiert.
   2. In dieser Metrik sind alle einpunktigen Mengen offen.
   3. Erfüllt aa1 (1. Abzählbarkeitsaxiom), da dies in allen metrischen Räumen erfüllt ist.
   4. Erfüllt aa2 nicht, denn in der Basis der Topologie müssen mindestens alle einpunktigen Mengen enthalten sein. Und damit ist jede Basis der Topologie überabzählbar.
   
   Gruss Urs
   

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