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Cardanische Formel

Von: , Frage gestellt am Di, 22. Feb 2005

Hallo zusammen,

ich habe in Kostenrechnung folgendes mathematisches Problem. Ich muss 2 Kostenfunktionen gleichsetzen:
60 - 3x + 0,06x^2 = 600/x + 60 -1,5x + 0,02x^2
Nach einigem umformen habe ich dann folgende Gleichung erhalten:
x^3 + 37,5x^2 + 15000 = 0
Nun habe ich die Cardanische Formel gefunden, die zur Lösung einer solchen kubischen Gleichung beiträgt.
Ich weiß zwar, das als Lösung ungefähr x = 44,93 rauskommt, habe aber das Problem diese Formel anzuwenden, da ich sie nicht verstehe.

Kann mir da jemand helfen?

Danke schon jetzt.

Gruß Xenia

4 Antworten zu dieser Frage

1. Antwort von nach 5 Stunden 1 hilfreich

   Re: Cardanische Formel

   Hallo Xenia! x^3 + 37,5x^2 + 15000 = 0
   Nun habe ich die Cardanische Formel gefunden, die zur Lösung
   einer solchen kubischen Gleichung beiträgt.
   Ich weiß zwar, das als Lösung ungefähr x = 44,93 rauskommt,
   habe aber das Problem diese Formel anzuwenden, da ich sie
   nicht verstehe.
   Wie bist du auf die Lösung von 44,93 gekommen? Deine Gleichung kann doch offensichtlich nicht für positive x erfüllt sein. Entweder ist die Gleichung oder die Lösung falsch.
   
   Es scheint mir, du hast einen Vorzeichenfehler gemacht. Ich kommen bei der Gleichung auf:
   
   x³-37,5x²-15000=0
   
   Zu verstehen gibt es hier eigentlich nicht viel. Das ist eine kubische Gleichung mit einem konstanten Term, deren Lösung du nun mittels Näherungsverfahren lösen musst.
   Was die Gleichung selbst zu bedeuten hat, kann man nicht sagen. Dazu müsste man wissen, was das x und die anderen Größen für eine Bedeutung haben.
   
   flo
   

   • Antwort von nach 6 Stunden 0 hilfreich

     Re^2: Cardanische Formel

     Hallo Flo,
     
     hier ein Auszug des Rechenbeispiels aus einem Kostenrechnungsbuch:
     
     gegeben sei folgende Funktion:
     (1): K = 600 + 60x - 1,5x^2 + 0,02x^3
     
     Die Grenzkosten als 1. Ableitung gehorchen der Funktion
     (2): dK/dx = K’ = 60 -3x + 0,06x^2
     
     Man erhält ihr Minimum, das durch den Wendepunkt der Gesamtkostenkurve gekennzeichnet ist, indem man die zweite Ableitung Null setzt, nach x auflöst und wieder in (2) einsetzt:
     (3): K’’ = 0 = -3 + 0,12x
     x = 25
     K’Min = 22,50
     
     Die gesamten Stückkosten bzw. gesamten Durchschnittskosten haben wegen (Stückkosten = Gesamtkosten/Stückzahl) den Verlauf:
     (4): K/x = k = 600/x + 60 - 1,5x + 0,02x^2
     
     Ihr Minimum liegt dort, wo die Kurve der gesamten Stückkosten die der Grenzkosten schneidet, denn bei diesem Abszissenwert hat die Tangente an die Gesamtkostenkurve die gleiche Steigung wie der Fahrstrahl aus dem Ursprungspunkt. Man setzt (2) und (4) gleich, löst (z. B. durch Probieren oder mit Hilfe der Cardanischen Formel) nach x auf und setzt in (2) oder (4) ein:
     60 - 3x + 0,06x^2 = 600/x + 60 - 1,5x + 0,02x^2
     x = 44,93
     kMin = 46,33
     
     ...
     
     Ich hoffe, das hilft weiter.
     
     Gruß Xenia [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
     

   • Antwort von nach 8 Stunden 0 hilfreich

     Re^2: Cardanische Formel

     Hallo,
     
     Wie bist du auf die Lösung von 44,93 gekommen? Deine Gleichung
     kann doch offensichtlich nicht für positive x erfüllt sein.
     Entweder ist die Gleichung oder die Lösung falsch.
     Die Lösung hab ich aus meinem Kostenrechnungsbuch (Haberstock, 12. Auflage und ein Standardwerk).
     Es scheint mir, du hast einen Vorzeichenfehler gemacht. Ich
     kommen bei der Gleichung auf:
     
     x³-37,5x²-15000=0
     Sorry, nur falsch geschrieben, gerechnet (bzw. versucht) habe ich es wie Du beschrieben hast.
     Zu verstehen gibt es hier eigentlich nicht viel. Das ist eine
     kubische Gleichung mit einem konstanten Term, deren Lösung du
     nun mittels Näherungsverfahren lösen musst.
     Da der Author des Kostenrechnungsbuchs so lapidar meinte:
     Die Gleichung löst man mit Hilfe der Cardanischen Formel hätte mir klar sein müssen, dass das Ganze etwas schwieriger ist. Nur mit mal schnell einsetzen ist wohl nichts. Das zeigt mein Misserfolg und die wenigen Antworten auf meine Frage.
     
     Trotzdem vielen Dank.
     
     Gruß Xenia
     flo
     

2. Antwort von nach 10 Stunden 0 hilfreich

   Re: Cardanische Formel

   Hallo Xenia,
   
   komisch, daß so wenig geantwortet wird...
   
   per Google findet man z.B.
   
   http://www.mathematik-online.de/F110.htm
   
   Das Problem der Cardanischen Formel ist, daß sie keine richtige Formel mehr ist, sondern schon ein Rezept. Wenn man Pech hat (sich also im "Casus irreducibilis" befindet), kann man die Lösungen der kubischen Gleichung nicht mit Hilfe von Kubikwurzeln o.dgl. (das ist mit den "Radikalen" gemeint) darstellen.
   
   Der erste und wichtigste Schritt ist, die Zahlen a und b aus Deiner kubischen Gleichung zu ermitteln. Dazu mußt Du in der kubischen Gleichung x durch y-r/3 ersetzen. (y ist eine "neue" Unbekannte.)
   Nach ein bißchen Rechnen solltest
   Du eine kubische Gleichung in y bekommen, die aber kein y-Quadrat mehr
   enthält.
   Mit den Zahlen a und b berechnest Du dann die Diskriminante D.
   
   Hoffe, Dir erstmal über die ersten Schritte geholfen zu haben.
   
   Stefan
   

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