wert Beobachtung Werte Normalverteilung Experten Algorithmen

Herleitung d. Normalvert.

Von: , Frage gestellt am Mi, 23. Feb 2005

Hallo,

die Formel für die Dichte der Normalverteilung geht ja, so sagt man, auf den alten Fritze Gauß zurück, der sie wohl "entwickelt" (gefunden?) haben soll, um den Einfluß von Meßfehlern zu quantifizieren. Soweit, so schön. Ich versuche schon seit einiger Zeit herauszubekommen, _wie_ er darauf gekommen sein mag - erfolglos.

Meine Frage also an die Experten: Wie kommt man auf die Dichtefunktion der Normalverteilung?

Ich will das NICHT in den mathematischen Einzelheiten - die würde ich doch nicht verstehen. Ich möchte es nur GROB und im PRINZIP nachvollziehen können (so in der Art "Lügen für Nichtmathematiker"...), das reicht vollkommen.

Ich bin etwas verwirrt, was der Zentrale Grenzwertsatz da für eine Rolle spielt. Hat Gauß den (unbewiesener maßen) benutzt und damit die Normalverteilung abgeleitet oder hat Gauß (wie auch immer) zuerst die Normalverteilung gefunden und man hat später gesehen, daß es sowas wie einen ZGS gibt (der ja erst 1901 von Ljapunow bewiesen worden sein soll), der in Verbindung zur Normalverteilung steht?

Ach ja, noch was: Es gibt ja kein geschlossenes Integral der Dichtefunktion, wohl aber Algorithmen, mit denen sich die Werte der Normalverteilung gut nähern lassen. Kennt die jemand und kann sie mir in _einfacher_ Weise beschreiben (also für Nichtmathematiker!), so von der Idee, das reicht. Und/oder: Wie ist das Verfahren für die Umkehrfunktion (also von der kumm. Wahrsch. auf die Quantile)?

Danke, danke und danke schonmal,

Liebe Grüße,

Jochen

2 Antworten zu dieser Frage

1. Antwort von nach 52 Minuten 1 hilfreich

   Vielleicht das?

   Hi,
   http://www.techfak.uni-kiel.de/matwis/amat/mw1_ge/ka...
   
   (...= daß es sowas wie einen ZGS gibt (der ja erst
   1901 von Ljapunow bewiesen worden sein soll), der in
   Verbindung zur Normalverteilung steht?
   Der ZGS von Ljapunov ist der allgemeinste und "mächtigste", aber nicht der erste.
   Moivre Laplace haben etwas ähnliches schon sehr lange vorher gefunden, allerdings nur für "bestimmte Verteilungsfunktionen"
   (...)
   
   Gruss,
   

2. Antwort von nach 55 Minuten 1 hilfreich

   Re: Herleitung d. Normalvert.

   Auch hallo.
   
   Erstmal muss klar sein, dass die Normalverteilung (nicht nur sie) nur ein Modell ist. Und kann als solches auch falsch sein. Aber dennoch: in der damaligen Zeit gab es noch keine Computer, von daher musste man sich auf Beobachtungen und Messungen (und damit auch Messfehler) verlassen. Aus diesen Doku's kam Gauss dann auf die Idee die Streuung um den Mittelwert zu berechnen. Auffällig war jedenfalls, dass sich ~50% der Messwerte um den errechneten MW eingefunden hatten. Je weiter weg vom MW, desto weniger Werte waren zu beobachten. Wie er dann auf die Idee kam, die Monsterformel e^.... (http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung) aufzustellen liegt aber (für mich jedenfalls) im Dunkeln. Zumindest konnte Gauss eine Beobachtung in eine Formel stecken, die bis heute nicht widerlegt werden konnte.
   Die Beobachtungen können genausogut aus dem ZGWS (http://www.mathematik.uni-ulm.de/stochastik/lehre/ws...)
   stammen.
   Die Werte der NV werden übrigens mit numerischen Integrationsverfahren (Simpson Formel, Romberg, ...) und Interpolationsverfahren ermittelt. Jetzt ein klein wenig Übung im Quantile Aufspüren. Man nehme eine Tabelle der Std.NV:
   1% einseitig: 0,99 -> 2,33
   1% zweiseitig: 0,995 -> 3,2905
   5% zweiseitig: 0,975 ((1-0,05)/2)-> 1,96
   5% einseitig: 0,95 -> 1,6449
   ...
   Ob ein- oder zweiseitig getestet wird MUSS aus der Fragestellung ersichtlich sein. Beispiel: Gegeben MW und sigma -> zweiseitig. Einseitig, wenn nur Konfidenzintervall nach oben oder nach unten gefragt ist
   
   Quelle: Taschenbuch Mathematischer Formeln Hans-Jochen bartsch
   
   HTH
   mfg M.L.
   

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