Hallo!
Ich soll die folgenden Gleichungen beweisen:
a) sum(binomial(n,k)^2,k=0..n)=binomial(2*n,n)
b) sum(k*binomial(n,k),k=0..n)=n*2^(n-1)
wobei binomial(n,k) wie üblich für "n über k" steht.
Anschaulich am Pascalschen Dreieck erscheinen mir
diese Sachverhalte klar, aber wie kann man so etwas
beweisen?
Vielleicht weißt Du ja die Antwort... :-)
Viele Grüße,
Thorsten
Was mir spontan dazu einfaellt, ist der Induktionsbeweis.
MEB
Elegant und damit viel zu einfach:
a) sum(binomial(n,k)^2,k=0..n)=binomial(2*n,n)
sum(binom(n,k)^2)=sum(binom(n,k)*binom(n,n-k)) ist der Koeffizient von x^n, wenn man (1+x)^{2n} als (1+x)^n*(1+x)^n ausmultipliziert.
b) sum(k*binomial(n,k),k=0..n)=n*2^(n-1)
k binom(n,k)=n binom(n-1,k-1) nach Definition, oder (1+x)^n an der Stelle x=1 ableiten, einmal als Potenz, einmal als Polynom.
Ciao Lutz
Ja, so hat's funktioniert! Mit Induktion wäre es wahrscheinlich viel komplizierter geworden...
Vielen Dank, Lutz!
Thorsten
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