Sers
Ich versuch gerade (verzweifelt) herauszufinden, wie man Punkt- und Achsensymmetrie eines Graphen zu einem beliebigen Punkt nachweisen kann, jedoch wills nicht so recht hinhauen.
Weiß jemand,
a) wie man Punkt- bzw. Achsensymmetrie zu einem beliebigen Punkt nachweisen kann und
b) wieso das so ist?
Thx for response
Serwutz :-)
Punktsymmetrie: Funktion f heißt punktsymetrisch zum Punkt (a,b), wenn gilt: f(a+z)-b = b-f(a-z) f. alle z mit (a+-z) Element Definitionsbereich (D)
Achsensymetrie: *-> Gerade Fkt. * : f(x) = f(-x)
Ungerade Fkt.: f(-x) = -f(-x)
Graph aufmalen und anschauen, dann wird einiges klar ;-)
Quelle: TB der WI und Wirtschaftsmathematik Seite 452f
HTH
mfg M.L.
Graph aufmalen und anschauen, dann wird einiges klar ;-)
Wird es eben nicht. Wenn ich einen Graph aufmale kriege ich als Punktsymmetrie für einen Punkt P(a|b): f(x-a) + b = -f(a-x) -b
Ich bin folgendermaßen vorgegangen:
Angenommen P(a|b) liege im ersten Quadranten
Für die Rechtsverschiebung habe ich folgendes angesetzt:
f(x-a) = -f(-(x-a))
jetzt noch bei beiden das b addieren und ich komm auf:
f(x-a) +b = -f(a-x) -b
Insofern kann ich die oben genannte FOrmel nicht nachvollziehen.
hi,
Angenommen P(a|b) liege im ersten Quadranten
Für die Rechtsverschiebung habe ich folgendes angesetzt:
f(x-a) = -f(-(x-a))
? (= versteh ich nicht)
besser:
f(a+x) = -f(a-x)
jetzt noch bei beiden das b addieren und ich komm auf:
f(x-a) +b = -f(a-x) -b
besser:
f(a+x) - b = b - f(a-x)
damit:
f(a+x) + f(a-x) = 2b
oder (mit substitution u = a-x und also x=a-u)
f(2a-u) + f(u) = 2b
hth
m.
besser:
f(a+x) = -f(a-x)
ok, dann frag ich: wieso setzt man +a an und nicht -a?
besser:
f(a+x) = -f(a-x)
ok, dann frag ich: wieso setzt man +a an und nicht -a?
nicht +a, nicht -a, sondern a.
dort wo a liegt, liegt die achse, wurscht ob positiv oder negativ. von a nach links ist a-x, von a nach rechts ist a+x (für positive x; für negative ist es umgekehrt)
m.
hi,
a) wie man Punkt- bzw. Achsensymmetrie zu einem beliebigen
Punkt nachweisen kann und
b) wieso das so ist?
(i) achsensymmetrie:
wenn f(a+x) = f(a-x), dann ist f achsensymmetrisch mit der (vertikalen) achse x = a
das kannst du auch zum rechennachweis nützen.
z.b. y = x^2 - 2x + 1
wir vermuten symmetrie bzgl. x = 1
dann ist:
f(1+x) = (x+1)^2 - 2(x+1) + 1 = x^2 + 2x + 1 - 2x - 2 + 1 = x^2
f(1-x) = (1-x)^2 - 2(1-x) + 1 = 1 - 2x + x^2 - 2 + 2x + 1 = x^2
spezialfall: a = 0
f(x) = f(-x)
spezialfall polynome:
alle polynome mit ausschließlich geraden potenzen
(ii) punktsymmetrie
wenn
f(2a-x) = 2b - f(x)
für alle x erfüllt, liegt punktsymmetrie zum punkt P = (a|b) vor
geht auch zum rechnen. probiers z.b. mit y = x^3 - 3x^2 + 3x bzgl. (1|1)
spezialfall:
P = (0|0)
f(-x) = -f(x)
spezialfall polynome:
alle polynome mit ausschließlich ungeraden potenzen
hth
m.
