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Fehlerrechnung mit Exponentialfunktionen

Von: , Frage gestellt am Do, 13. Jul 2000

Hallo,

ich schlage mich seit geraumer Zeit mit einem mir vertrackt erscheinenden Problem herum, wo ich sehr dankbar wäre für eine Hilfestellung.

Mein Problem ergibt sich aus folgendem Ansatz:

Ich habe eine Probe A, die wird n-mal gemessen und liefert die Meßwerte a1,a2,...an. Davon wird der Mittelwert a und die Standardabweichung sa bestimmt.

Gleiches wird gemacht für die Proben B, C und D.

Jetzt wird aus den Meßwerten die Größe berechnet, die man eigentlich wissen will. Am Beispiel der Probe A wäre das:

a' = 2^a (sprich: 2 hoch a)

Die Standardabweichung von a ist sa. Wie groß ist die von a' ? Im Bronstein hab ich nur was über relative Fehlerschranken von x^n gelesen, wobei x die fehlerbehaftete Größe ist und nicht n.

Dementsprechend wird auch b', c' und d' berechnet.

Jetzt aufgepaßt: die Endgröße berechnet sich durch:

R = 2 * (a'/b') / (c'/d') - 0.5

Was kann ich über den Fehler von R sagen, wenn ich sa, sb usw kenne ????

Bitte, bitte, kann mir da jemand helfen ?!

Jochen

4 Antworten zu dieser Frage

1. Antwort von nach 3 Stunden hilfreich

   Re: Fehlerrechnung mit Exponentialfunktionen

   Hallo,
   Jetzt wird aus den Meßwerten die Größe berechnet, die man
   eigentlich wissen will. Am Beispiel der Probe A wäre das:
   
   a' = 2^a (sprich: 2 hoch a)
   
   Die Standardabweichung von a ist sa. Wie groß ist die von a' ?
   Im Bronstein hab ich nur was über relative Fehlerschranken von
   x^n gelesen, wobei x die fehlerbehaftete Größe ist und nicht
   n.
   Warum logarithmierst Du die Werte nicht einfach, dann wirds wieder hübsch linear und Du kannst Deine Standardformeln anwenden?
   
   Gruss
   
   
   Jens
   

   • Antwort von nach 8 Stunden hilfreich

     Re^2: Fehlerrechnung mit Exponentialfunktionen

     Warum logarithmierst Du die Werte nicht einfach, dann wirds
     wieder hübsch linear und Du kannst Deine Standardformeln
     anwenden?
     Weil dann die ganze Fehlerrechnung zum Teufel wäre. Die setzt nämlich normalverteilte Feher voraus und die Normalverteilung wird durch die Logarithmierung verzerrt.
     

2. Antwort von nach 9 Stunden hilfreich

   Re: Fehlerrechnung mit Exponentialfunktionen

   a' = 2^a (sprich: 2 hoch a)
   
   Die Standardabweichung von a ist sa. Wie groß ist die von a' ?
   Für solche Fälle gibt es das Gaussche Fehlerfortpflanzungsgesetz. Die Varianz einer Funktion f(x₁,x₂,...,x_n) ergibt sich aus den Fehlern den Varianzen der Parameter x₁, x₂ bis x_n nach
   
   s²(f)=(df/dx₁)²*s(x₁)²+(df/dx₂)²*s(x₂)²+...+(df/dx_n)²*s(x_n)²
   
   Danach ist s(a')=s(a)*2^a*ln2 Jetzt aufgepaßt: die Endgröße berechnet sich durch:
   
   R = 2 * (a'/b') / (c'/d') - 0.5
   
   Was kann ich über den Fehler von R sagen, wenn ich sa, sb usw
   kenne ????
   Wenn ich das richtig sehe, ist R=2^1+a-b-c+d-0.5
   
   Für die Ableitungen gilt
   
   (dR/da)²=(dR/db)²=(dR/dc)²=(dR/dd)²=(ln2*2^1+a-b-c+d)²
   
   Die Standardabweichung von R beträgt also
   
   s(R)=ln2*2^1+a-b-c+dsqrt(s(a)²+s(b)²+s(c)²+s(d)²)
   

   • Antwort von nach 22 Stunden hilfreich

     Erläuterung

     Alles vollkommen korrekt, aber ein bißchen unübersichrlich aufgeschrieben:
     Wegen a' = 2^a, b' = 2^b, a' = 2^b, a' = 2^b gilt:
     R = 2 * (a'/b') / (c'/d') - 0.5 = 2^1+a-b-c+d-0.5.
     
     Das Vortpflanzungsgesetz sagt aus: Für eine Funktion f mit den Parametern (x₁,x₂,...,x_n) ist die VARIANZ des Fehlers gleich der Summe der VARIANZEN der Parameter, also
     (*) s²(f) = (df/dx₁)²*s(x₁)²+(df/dx₂)²*s(x₂)²+...+(df/dx_n)²*s(x_n)²
     
     Setzt man f=a', so ergibt sich
     s²(a') = s(a)*2^a*ln2, nach (*)
     
     Ganz allegemein gilt:
     (dR/da)²=(dR/db)²=(dR/dc)²=(dR/dd)²=(ln2*2^1+a-b-c+d)²
     
     also folgt mit (*)für die VARIANZ von R:
     s²(R)=(ln2*2^1+a-b-c+d)²(s²(a)+s²(b)+s²(c)+s²(d))
     
     und somit für die Standardabweichung
     s(R) = ln2*2^1+a-b-c+dsqrt(s(a)²+s(b)²+s(c)²+s(d)²).
     
     Das ist vielleicht ein wenig übersichtlicher..... :-)
     Gruß Tyll
     

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