wert Abweichung Ungleichung Glühbirnen aufgabe Exponentialfunktion Betriebsstunden

Statistik: Exponentialfunktion

Von: , Frage gestellt am Sa, 27. Aug 2005

Hallo,
folgende Aufgabe habe ich erhalten:

Die Lebensdauer (in Betriebsstunden) der Glühbirnen in einem neugebauten Fußballstadion wird durch unabhängige, identisch exponentialverteilte Zufallsvariablen mit Parameter
Lambda = ln(1.25)/1000 modelliert.

a) Ein Flutlichtmast enthält 10000 Glühbirnen.
Berechnen Sie mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes näherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach 1000 Betriebsstunden
noch mehr als 8040 Lampen funktionstüchtig sind.

Für einen weiteren Stadionneubau sollen für die Flutlichtmasten auch die Glühbirnen des obigen Typs verwendet werden. Aufgrund eines neuen FIFA-Statuts muss aber gewährleistet sein, dass nach 1000 Betriebsstunden mit mindestens 99% Wahrscheinlichkeit noch
mehr als 9000 Glühbirnen des Flutlichtmastes funktionstüchtig sind.


b) Leiten Sie eine Ungleichung für die Anzahl der Lampen her, die dieser Flutlichtmast näherungsweise enthalten muss, um obige Bedingung zu erfüllen. Verwenden Sie dabei den Zentralen Grenzwertsatz. Die Ungleichung soll von der Form a·n+b·Wurzel(n)>= c mit
a, b, c Element IR sein.


Wie löst man diese Aufgabe. Das was eine Klausuraufgabe.

Danke im vorab.

1 Antworten zu dieser Frage

1. Antwort von nach einer Stunde 0 hilfreich

   Re: Statistik: Exponentialfunktion (Teil 1)

   Auch hallo. Die Lebensdauer (in Betriebsstunden) der Glühbirnen in :einem
   neugebauten Fußballstadion wird durch unabhängige, :identisch
   exponentialverteilte Zufallsvariablen mit Parameter
   Lambda = ln(1.25)/1000 modelliert.
   (ln(1.25))/1000 oder ln((1.25)/1000) ?
   http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialverteilung
   -> Lambda * e ^Lambda*nü a) Ein Flutlichtmast enthält 10000 Glühbirnen.
   Berechnen Sie mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes
   näherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach :1000
   Betriebsstunden
   noch mehr als 8040 Lampen funktionstüchtig sind.
   P(1 Lampe schafft mehr als 1000 Stunden)=1-e^-Lambda * 1000
   E[X]=1/Lambda -> *n da unabhängig
   Var[X]=1\Lambda² -> *n -> Stdabweichung[X]
   P(X>=8040)= 1 - Phi(8040) = 1-Phi((8040-E[X])/Stdabweichung[X])
   ...Entschuldigung, aber ohne eine klare Parameterangabe von Lambda wird das schwerer zu berechnen. Für einen weiteren Stadionneubau sollen für die
   Flutlichtmasten auch die Glühbirnen des obigen Typs :verwendet
   werden. Aufgrund eines neuen FIFA-Statuts muss aber
   gewährleistet sein, dass nach 1000 Betriebsstunden mit
   mindestens 99% Wahrscheinlichkeit noch
   mehr als 9000 Glühbirnen des Flutlichtmastes :funktionstüchtig
   sind.
   n>9000, t=1000
   99%-Quantil c = 2,33 = 1-Phi(...)
   b) Leiten Sie eine Ungleichung für die Anzahl der :Lampen her,
   die dieser Flutlichtmast näherungsweise enthalten muss, :um
   obige Bedingung zu erfüllen. Verwenden Sie dabei den :Zentralen
   Grenzwertsatz. Die Ungleichung soll von der Form
   a·n+b·Wurzel(n)>= c mit
   a, b, c Element IR sein.
   Formel der Standardnormalverteilung umstellen nach n, a und b sind Intervallgrenzen, c= 2,33
   
   2,33=1-Phi((?-n*E[X])/Stdabweichung[X]) -> umstellen nach n
   
   Etwas wirre Darstellung ;-)
   Deswegen ja auch 'Teil 1' im Titel
   Dennoch:
   
   HTH
   mfg M.L.
   

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