Wahrscheinlichkeiten beim Lotto

Wissenschaft Physik
#1

Hallo Experte/-in!

Es geht um die Wahrscheinlichkeit beim Lotto. „n über k“ hab ich vor 1,5 Jahren in der Schule gelernt, jetzt kann ich mir das auch herleiten - allerdings nur auf der Grundlage mehrerer, einfacher Beispiele. Ein Beispiel:

Ich habe vier Lottokugeln (1, 2, 3, 4) und möchte wissen, wie viele verschiedene 2-Kugeln-Kombinationen möglich sind. In der Lottosprache 2 aus 4, mathematisch ausgedrückt „4 über 2“. Ergebnis ist 6 (die WSK einen „Zweier“ bei diesem Lotto zu haben beträgt also 1/6). Zu diesem Ergebnis bin ich gewissermaßen mit einem Ereignisbaum gekommen, den ich nach der anstrengenden Schreibarbeit von doppelten Kombinationen (die Reihenfolge ist ja beliebig) bereinigt habe.

Dann hab ich mich auf den Weg zu „n über k“ gemacht. „n“ ist die Anzahl der vorhandenen Kugeln, „k“ ist die Anzahl der zu ziehenden Kugeln. Betrachten wir die Zahl der Möglichkeiten für die 2-Kugeln-Kombi „x und y“. Wir fangen an …

4 Möglichkeiten für x
noch drei sind da, also noch 3 Möglichkeiten für y

Insgesamt sind (unbereinigt) 4*3=12 Kombis möglich. Um zu einer Formel mit Fakultäten zu kommen: (4*3*2*1)-(2*1)=4!-(4-2)! oder allgemein n!-(n-k)!.

Nun zur „Bereinigung“: Ich beobachte den „Reinigunsfaktor“ k!, will sagen, ich muss die Zahl der unbereinigten Kombis durch k! teilen.

WARUM???

Ich kann das an Beispielen sehen, aber nicht allgemein einsehen, warum es gerade k! sein muss. Kanns du mir einen logischen Grund nennen?

Ich freue mich auf deine Antwort!

Viele Grüße

David

#2

Machen wir es gleich mal allgemein:
In der Lottotrommel sind n Kugeln,
es werden m gezogen,
und Du möchtest k richtige haben (Z.B. n=49 m=6 k=4).
Nehmen wir an, die m Richtigen stehen schon fest.

Du wählst für Deinen Lottoschein k aus ihnen.
Für die erste Zahl gibt es m Möglichkeiten, für die zweite m-k, … für die k-te m-k+1. Also zunächst mal
m * (m-1) * … *(m-k+1). Das ist m!/(m-k)!.

So weit so gut, aaaaber:
Die Reihenfolge, in der Du Deine Zahlen ankreuzt, ist egal, das heißt, alle Permutationen Deiner k Zahlen sind identisch (der Lottoschein sieht gleich aus, egal, ob Du erst die 7 und dann die 13 ankreuzt, oder umgekehrt).
Für Deine bislang k Kreuze gibt es k! Permutationen, die alle zum selben Lottoschein führen und daher rausgekürzt werden müssen.
Bleiben m!/((m-k)!*k!) = (m über k)Möglichkeiten für k Richtige.

Und damit bist Du immer noch nicht fertig.
Du hast bislang nur k Kreuze auf dem Lottoschein gemacht.
Nun brauchst Du noch m-k falsche Zahlen, die Du aus den insgesamt n-m falschen Zahlen auswählst.
Die gleiche Logik wie oben liefert ((n-m) über (m-k)) Möglichkeiten für die falschen Kreuze.

Also insgesamt (m über k) * ((n-m) über (m-k)) Möglichkeiten, GENAU k Richtige zu haben.

#3

Für die Ziehung der ersten Zahl beim Lotto „k aus n“ gibt es n Möglichkeiten, für die Ziehung der zweiten Zahl n-1 Möglichkeiten usw., für die Ziehung der k-ten Zahl n-k+1 Möglichkeiten.

Das Produkt lautet n*(n-1)*…*(n-k+1) bzw., anders aufgeschrieben, n ! / (n-k) ! und ergibt die Gesamtzahl aller Kombinationen in Deinem allgemeinen Ereignisbaum.

Bei jeder Ziehung von k konkreten Zahlen (z.B. bei 5 aus 35: 3, 7, 15, 20, 25) aus n Zahlen gibt es eine bestimmte Zahl von Möglichkeiten für die Abfolge der Ziehung (z.B. 25-3-15-7-20 oder 15-20-7-3-25 usw.).

Alle diese verschiedenen Möglichkeiten für die Reihenfolge der Ziehung einer bestimmten Auswahl sind ebenfalls in dem allgemeinen Ereignisbaum enthalten. Da es auf die Reihenfolge der Ziehung beim Lotto „k aus n“ nicht ankommt, muss durch diesen Faktor dividiert werden, um die wirkliche Zahl der verschiedenen relevanten Kombinationen zu erhalten.

Dass dieser „Reduktionsfaktor“ k ! ist, kann man sich so veranschaulichen:

Für jede bestimmte Auswahl von k Zahlen gibt es k Möglichkeiten dafür, welche Zahl als erste gezogen wird. Für die zweite Zahl gibt es noch (k-1) Möglichkeiten usw. Das Produkt ist die Gesamtzahl aller Möglichkeiten für die Reihenfolge der Ziehung und lautet k !.

Als Endergebnis dieser Überlegungen erhältst Du die bekannte Formel „n über k“ = n ! / (k ! * (n-k) !)

Torsten

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#4

David Offenberg konstruierte einen Ereignisbaum und schloß daraus, daß die Wahrscheinlichkeit, einen „Zweier bei SEINEM Lotto zu haben, 1/6 liegt“. Bis hierher glaube ich richtig verstanden zu haben.

Ich bin kein Mathematiker und meine Zeit, in der ich ein wenig gerechnet habe liegt weit zurück, daher bitte ich um Nachsicht. Trotzdem bin ich interessiert.

Seit etwa 1990 habe ich knapp 1300 Lottoziehungen notiert. Aus den Gewinnsummen habe ich auch berechnet, wieviele Tips seither abgegeben wurden und wieviele Gewinne erzielt wurden. Daraus sollte man auf die Wahrscheinlichkeit schließen können.

Für einen 6er kann ich das natürlich auch berechnen, für 5er, 4er und 3er kann ich es leider nicht. Empirisch (siehe vorigen Absatz) ergibt sich etwa 1 zu 52.700, 1020 und 55. (Gewinne/Tip)

Nun meine Riesenfreuede über David Offenbergs Frage und folgende zwei Antworten. Leider kann ich damit auch nichts anfangen. Gibt es dazu mehr???

Aus Barbara Haeberlin:

Machen wir es gleich mal allgemein:
(Z.B. n=49 m=6 k=4).

Die gleiche Logik wie oben liefert
Also insgesamt
(m über k) * ((n-m) über (m-k))
Möglichkeiten, GENAU k Richtige zu haben.

(6!/4!) * ((49-6)!/(6-4)!)
(6*5) * (43!/2!)
30 * sehr große Zahl = sehr große Zahl

Mit dieser riesigen Zahl kann ich nichts anfangen.

Aus Thorsten Theisinger:

um die wirkliche Zahl der verschiedenen relevanten
Kombinationen zu erhalten.

Als Endergebnis dieser Überlegungen erhältst Du
die bekannte Formel
„n über k“ = n ! / (k ! * (n-k) !)

49! / (4! * (49-4) !)
49! / (24 * (49-4) !)
49 * 48 *47 * 46 / 24 = 211.876

Ist das die Zahl der verschiedenen relevanten Kombinationen? Und was ist das?

Ich würde gerne die theoretische Wahrscheinlichkeit für 5er, 4er und 3er Gewinne beim Lotto berechnen zu können.

Grüße Rudolf

#5

kleiner Tippfehler
Statt

Für die erste Zahl gibt es m Möglichkeiten, für die zweite
m-k, … für die k-te m-k+1.

muss es heißen:
Für die erste Zahl gibt es m Möglichkeiten, für die zweite
m-1 , … für die k-te m-k+1.

#6

Für einen 6er kann ich das natürlich auch berechnen, für 5er,
4er und 3er kann ich es leider nicht. Empirisch (siehe
vorigen Absatz) ergibt sich etwa 1 zu 52.700, 1020 und 55.
(Gewinne/Tip)

Ich würde gerne die theoretische Wahrscheinlichkeit für 5er,
4er und 3er Gewinne beim Lotto berechnen zu können.

Hi Rudolf,

aus Barbaras Ergebnis folgt für das „allgemeine“ Lotto „m aus n“

Wenn in der Lottotrommel n Kugeln sind und m daraus
gezogen werden, dann ist die Wahrscheinlichkeit für das
Ereignis „k richtige Kugeln“ (gemeint ist hier genau
k richtige) gleich

(m über k) * ((n-m) über (m-k)) / (n über m)

Der Ausdruck „(a über b)“, den die Mathematiker „Binomialkoeffizient“ nennen, ist definiert als

(a über b) = a! / (b! * (a-b)!)

(wobei b zwischen einschließlich Null und einschließlich a liegen darf).

Das auf der rechten Seite der Binomialkoeffizientendefinition auftauchende Gebilde „n!“ – sprich „n Fakultät“ – ist seinerseits definiert als

n! = 1 * 2 * 3 * 4 * … * n

Dies ist bereits das komplette Know-How, um alles ausrechnen zu können, was Dich interessiert. Beim Lotto „6 aus 49“ mußt Du n = 49 und m = 6 setzen.

Beispiel: Wie groß ist p(k=4) beim Lotto „6 aus 49“?

Antwort:

p(k=4) = (6 über 4) \* ((49-6) über (6-4)) / (49 über 6)
 = (6 über 4) \* (43 über 2) / (49 über 6)

 Nebenrechnung:
 (6 über 4) = 6! /(4! \* 2!) = 720/(24 \* 2) = 15
 (43 über 2) = 43!/(2! \* 41!) = 903
 (49 über 6) = 49!/(6! \* 43!) = 13983816

 = 15 \* 903 / 13983816
 = 13545 / 13983816
 = 0.0009686

Wenn Du dieses Ergebnis nun mit Deinem empirisch bestimmten von 1/1020 vergleichst, wirst Du feststellen, daß die Werte wie erwartet nur wenig voneinander abweichen (1/1020 = 0.0009804).

Nach demselben Schema kannst Du nun auch die anderen Wahrscheinlichkeiten (p(k=3), p(k=5) usw.) ausrechnen.

Noch ein Hinweis: Die Fakultäten größerer Zahlen, also z. B. 43! oder 49!, kann man nicht mehr von Hand ausrechnen, da Fakultäten sehr schnell sehr groß werden. Hier muß man sich eines (wissenschaftlichen) Taschenrechners bedienen. Ein solcher steht auch unter Windows mit dem Programm „Calculator“ bzw. „Rechner“ zur Verfügung (zu finden im Ordner „Zubehör“, Anzeige per Menü umschalten auf „wissenschaftlich“). Um die Fakultät einer Zahl zu berechnen, gibt man die Zahl ein und drückt dann die Taste „n!“.

Mit freundlichem Gruß
Martin

#7

Hallo Martin,

Herzlichen Dank! Welch ein Erfolgserlebnis.

Die Erklärung war so gut, daß selbst ich sie verstanden habe.
Wegen Rechner mit Fakultät-Fähigkeiten = ich habe seit 15 oder mehr Jahren einen HP 11C der das auch kann, trotzdem auch danke für den Hinweis.

Grüße Rudolf,
auch an die anderen Teilnehmer, die dieses Thema behandelt haben und Ursache meines Erfolgserlebnisses waren.

#8

An Rudolf

Die Frage von David Offenberg habe ich so verstanden, dass er nach einer allgemeinen Herleitung der Formel für „n über k“ sucht. „n über k“ ist bekanntlich identisch mit der Zahl der verschiedenen Möglichkeiten, aus n verschiedenen Zahlen k Zahlen zu ziehen (ohne Beachtung der Reihenfolge). Das habe ich „Zahl der verschiedenen relevanten Kombinationen“ (in Davids Ereignisbaum) genannt.

Es war also die Frage nach einem VOLLTREFFER im Lotto „k aus n“, also z. B. einem 5er bei 5 aus 35 oder einem 6er bei 6 aus 49, die zu der Formel für „n über k“ führte. Die Formel für „n über k“ kann aber praktischerweise auch für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten genutzt werden, mit einem bestimmten Tip einen 3er, 4er oder 5er zu erzielen:

Dafür führe ich mal die Variable m ein: m=3, 4 oder 5 (je nachdem, ob die Wahrscheinlichkeiten für einen 3er, 4er oder 5er gefragt sind), und wir spielen wieder Lotto „k aus n“.

Die Wahrscheinlichkeit, mit einem bestimmten Tip einen „m-er“ (3er, 4er oder 5er) zu erzielen, ist gleich dem Quotienten aus der Zahl aller Gewinnkombinationen, bei der genau m Richtige auf Deinem Tipschein wären und der Gesamtzahl aller möglichen Kombinationen, die gezogen werden können.

Die Zahl der möglichen Gewinnkombinationen für einen „m-er“ errechnet sich so:

Es gibt „k über m“ Möglichkeiten für m richtige Zahlen aus den k angekreuzten Zahlen auf Deinem Tip. (Beispiel: „5 über 3“ = 10 Möglichkeiten für genau 3 Richtige auf einem Schein mit 5 getippten Zahlen bei 5 aus 35) JEDE dieser Möglichkeiten kann mit einer bestimmten Zahl von Kombinationsmöglichkeiten bei der Lottoziehung realisiert werden. Da k Zahlen bereits „vergeben“ sind (Du hast sie getippt), verbleiben jeweils „(n-k) über (k-m)“ Möglichkeiten für die Ziehung der NICHT getippten Zahlen.

Die Zahl der möglichen Gewinnkombinationen, bei denen Du mit einem bestimmten Tip einen „m-er“ erzielst, lautet also „k über m“ * „(n-k) über (k-m)“, und die Wahrscheinlichkeit für einen „m-er“ somit „k über m“ * „(n-k) über (k-m)“ / „n über k“.

Beispiele:

6 aus 49, Wahrscheinlichkeit für einen 3er mit einem Tip: ca. 1,765 %

6 aus 49, Wahrscheinlichkeit für einen 4er mit einem Tip: ca. 0,097 %

Alle Angaben ohne Gewähr.

Torsten

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#9

Beispiel
Wenn Du also aus 800 Büchern zehn (in Worten: 10) identische hast, dann tritt dieses Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von 1:27964721425606458212720 ein. Das ist also sehr viel unwahrscheinlicher als 6 (in Worten: sechs) richtige im Lotto.
Bei so einer Bücherlotterie kann der Gewinn also um ein vielfaches höher sein als beim Lotto.

(Zum Vergleich: Anzahl der Menschen, die auf der Erde leben: 6000000000 bis 7000000000)

Viele Grüße
Stefan

#10

Haut meiner Meinung nach nicht hin, da Kombinationen mehrerer Worte in „sinnvollen“ Texten nicht rein willkürlich sind und somit nicht alle rechnerischen Kombi-Möglichkeiten genutzt werden (gilt auch für Buchstaben-Kombis in Texten)

Gruß Michael

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#11

Danke!
Hallo Leute!

Vielen Dank für eure Hilfe! Ich hätte nicht gedacht, dass das so viele interessiert …

Grüße

David