Hallo, liebe Mathematen,
1+1/2 +1/3 + 1/4 +1/5 +1/6 +1/7 +1/8 +1/9 + 1/10 = ~2,93
und 1+1/2 +1/3 +1/5 +1/7 = ~2,18
und 1+1/2 + 1/4 +1/8 = 1,875.
Man sagt, daß die Summe der Kehrwerte der natürlichen Zahlen,
also 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +++++ 1/n ++++
sogar unendlich wächst/divergiert,
während aber z.B. die „dünnere Summe“
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +++ 1/2^n +++
sich nur unendlich dicht dem Wert 2 nähert, obwohl doch bei BEIDEN Summen „immer weniger dazukommt“…
Was ist eigentlich mit
1 + 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 +++++ 1/p ++++,
also der Summe der Kehrwerte der Primzahlen?
Die Primzahlen werden doch auch „immer dünner“.
Hat die Summe ihrer Kehrwerte „am Ende“ vielleicht auch nur einen endlichen Wert?
Was spricht man dazu unter Experten?
Viele Grüße,
Amöbe
Hallo!
1 + 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 +++++ 1/p ++++,
also der Summe der Kehrwerte der Primzahlen?
Die Primzahlen werden doch auch „immer dünner“.
Hat die Summe ihrer Kehrwerte „am Ende“ vielleicht auch nur
einen endlichen Wert?
Was spricht man dazu unter Experten?
Viele Grüße,
Amöbe
Eine äußerst interessante Frage, wie ich finde. Ich kenne dazu keine Antwort und bin auch mathematisch nicht fitt genug, um mir irgendetwas herzuleiten. Allerdings gibt es unter www.primzahlen.de eine Liste von Primzahlen. Ich habe mal eine Excel-Tabelle angelegt.
Für 1 + Summe(1/p) für alle Primzahlen von p=2 bis 10007 bekam ich den Wert 3,483159877. Das ist natürlich kein Beweis, aber es sieht stark danach aus, als würde die Reihe konvergieren. Gegen welchen Wert? Bei den ersten paar hundert Primzahlen hatte ich die leise Hoffnung pi. Das hat leider nicht geklappt.
Bestimmt gibt es irgendeine Abschätzung. Da Zahl der Primzahlen von 0 bis x kann jedenfalls grob durch x/lnx abgeschätzt werden. z. B. hier: x=10007, x/lnx=1086,4…, tatsächliche Zahl der Primzahlen: 1230.
Michael
Hallo, liebe Mathematen,
Hallo.
Die Primzahlen werden doch auch „immer dünner“.
Das werden sie aber in geringerem Maße als die Zweierpotenzen. Im Intervall 2^n bis 2^(n+1) befinden sich nach Michaels Faustformel ((ln/(2^(n+1)))-(ln/(2^n))) Primzahlen. Das heißt, wenn n wächst, wächst auch die Anzahl der Summanden im gegebenen Intervall nn+1. Daher die starke Vermutung, dass kein „endlicher Grenzwert“ existiert.
Für 1.000.000 beträgt die Endsumme 3,88732809956769. Für 10.000.000 liegt sie bei 4,04144938127958.
Einen exakten Beweis kann ich Dir nicht liefern. M.W. gibt es aber auch keine geschlossene Formel zur Ermittlung aller Primzahlen, so dass ich (schon wieder) vermute, dass die Vermutung nicht bewiesen werden kann. Vielleicht äußert sich noch jemand, der im Gegentum zu mir über die Anfangsstadien des Mathematikstudiums hinausgekommen ist …
Gruß Eillicht zu Vensre
Hallo, Michael,
danke für den Hinweis:
Bestimmt gibt es irgendeine Abschätzung. Die Zahl der Primzahlen von 0 bis x kann jedenfalls grob durch x/lnx abgeschätzt werden…
Das hat glaube ich Gauß das erstemal vermutet und soll wohl vonnem Franzosen später bewiesen worden sein.
Mich alte Primzahlhäsin begeistert diese „statistische“, ja „wahrscheinlichkeitliche“ Herangehensweise an die Prinzahlen, ihre Verteilung UND auch ihre Summe bzw. Kehrwertsumme.
Daß die „natürliche Kehrwertsumme bis n“ gegen ln(n) „geht“, ergibt sich ja alleine schon aus dem Vergleich mit der Fläche unter der Funktion f(x) = 1/x. Könnte man meine Frage nicht vielleicht als Variante davon betrachten, indem man nicht die natürlichen Kehrwerte selbst summiert sondern die „Summe ihrer Primitäten“, d.h. der Wahrscheinlichkeiten, PRIMZAHLkehrwert zu sein?
Simples aber irgendwie blödes, verzeih, Beispiel:
Die Summe der GERADEN natürlichen Kehrwerte, also
1/2 + 1/4 + 1/6 +++1/2n addiert ja die Hälfte aller natürlichen Kehrwerte bis n. Man könnte die Frage nach deren Summe doch auch so sehen:
An der gesuchten Summe ist, statistisch gesehen, JEDE natürliche Zahl NUR ZUR HÄLFTE beteiligt. Also „geht“ deren Summenwert „gegen“ 50%*ln[n] = ln[n]/2 = ln(W[n]).
Okayokay, natürlich ist viel deutlicher
1/2 + 1/4 + 1/6 ++++ = [1/2]*(1 + 1/2 + 1/3 ++1/2n) —>
[1/2]*ln[n],
aber es geht mir ja ums Prinzip.
Wenn es zwischen 1 und m tatsächlich etwa m/ln[m] Primzahlen gibt, dann besteht also bis m eine „Primzahldichte“ von (m/ln[m])/M = 1/ln[m]. Also wäre dann die Zahl m „zu 1/ln[m] eine Primzahl“, und die Summe der Primzahlkehrwerte ergibt sich als Summe der (1/m)*(1/ln[m]) mit 1 lnlnn -lnln2 = lnlnn + 0,367…
Iss nur sone Idee…
Viele Grüße,
Amöbe
Beweisskizze
Hallo.
Dass die Kehrwertsumme der Primzahlen divergiert, lässt sich folgendermaßen beweisen:
Dazu benutzt man folgendes Lemma (ohne Beweis):
∑ a<sub>n</sub> = ∞ ∏ (1-a<sub>n</sub>)<sup>-1</sup> = ∞ ,falls 0 ≤ a<sub>n</sub>
Der Beweis, dass ∑ 1/p = ∞ , folgt dann einfach aus:
∏(1-1/p)<sup>-1</sup> = ∏ ∑ 1/p<sup>n</sup> = ∑ 1/n = ∞
p prim p n≥0 n≥1
Verwendet wurde dabei:
die Taylorentwicklung von (1+h)<sup>-1</sup>
die Eindeutigkeit der Primzahldarstellung
die Divergenz der Kehrtsumme der natürlichen Zahlen
Aus ∑ 1/p = ∞ ergibt sich dann noch das Korollar, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Ansonsten wäre die Reihe schließlich nicht divergent.
Gruß
Oliver
Prime Alter’natur’ —> 0,25 ?
Hallo, lieber Oliver und ihr anderen Primzahlen-Tüftler, darf ich nochmal?
Ich habe gerade festgestellt, daß die „ALTERnierende harmonische
Prinzahlenreihe“, 1/2 - 1/3 + 1/5 ±±
etwa ziemlich genau gegen 0,25 KONvergiert.
Würdet Ihr das bitte prüfen, und hat jemand eine Idee, welche Natur hinter dieser Zahl stecken könnte?
Viele Grüße,
Amöbe
bedingte und absolute Konvergenz
Hallo
Ich habe gerade festgestellt, daß die „ALTERnierende
harmonische
Prinzahlenreihe“, 1/2 - 1/3 + 1/5 ±±
etwa ziemlich genau gegen 0,25 KONvergiert.
Würdet Ihr das bitte prüfen, und hat jemand eine Idee, welche
Natur hinter dieser Zahl stecken könnte?
Ich kann nur bestätigen, dass die „alternierende Primzahlreihe“ konvergiert, da sie das Leibniz-Kriterium erfüllt.(siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium)
Gegen welchen Grenzwert sie konvergiert, kann ich dir leider nicht sagen, aber da die Reihe nur bedingt konvergiert, würde ich mir über die „Natur“ des Grenzwertes auch keine Gedanken machen.
Bedingt konvergente Reihen sind nämliche sehr subtile Gebilde und können je nach Summationsreihenfolge jeden beliebigen Grenzwert annehmen. Wenn du also z.B. Satan huldigen willst, kannst du durch geschicktes Umordnen der Summanden den Grenzwert 666 erzeugen.
Im Gegensatz dazu sind absolut konvergenten Reihen sehr robust gegen derlei Gefummel und ändern ihren Grenzwert bei Umordnung der Summationsreihenfolge nicht.
Gruß
Oliver