wert Menge Wikipedia Lemma Zorn Axiom

Lemma von Zorn - was bringt einem das?

Von: , Frage gestellt am Di, 26. Dez 2006

Moin zusammen.

Das Lemma von Zorn besagt doch, dass wenn X (keine leere Menge) eine geordnete Menge ist, in der jede vollständig geordnete Teilmenge eine obere Schranke besitzt - dann besitzt X auch mindestens ein maximales Element.

Ich muss zugeben, dass ich mich nicht großartig eingelesen habe, aber ist das nicht eigentlich falsch, denn wenn X=(1,2)={x € IR : 1<x<2} (Oder muss ich 1<=x schreiben, damit es vollständig geordnet wäre?)

Aber in diesem Fall hätte X ja gar kein maximales Element, da man immer mindestens ein x_0 € (1,2) findet, fuer dsa gilt x_0 > x, (wobei x<2). Also kein maximales Element.

Da dieses Lemma ein Axiom ist, ist es auch nicht bewiesen. Ich habe gehört, dass es trotzdem für einige Beweise verwendet wird.
Wenn mein Beispiel da aber stimmt -> wieso wird das Axiom dann verwendet - und für welche Beweise? In den Beweisen, wo dieses Axiom dann verwendet wird, dürfte es doch keine Rolle spielen, ob es ein Maximales Element gibt oder nicht.

Ich habe da jetzt auch keine Literatur, in der das Lemma erwähnt wird...Und der größte Fan von Wikipedia bin ich auch nicht. Kann also mal jemand das Lemma kommentieren?

Schönen zweiten Weihnachtstag wünsche ich euch noch (falls das denn dann noch up2date ist)


Liebe Grüße
Disap

2 Antworten zu dieser Frage

1. Antwort von nach 10 Stunden 1 hilfreich

   Re: Lemma von Zorn - was bringt einem das?

   hi,
   
   zunächst:
   http://de.wikipedia.org/wiki/Zorns_Lemma
   Das Lemma von Zorn besagt doch, dass wenn X (keine leere
   Menge) eine geordnete Menge ist, in der jede vollständig
   geordnete Teilmenge eine obere Schranke besitzt - dann besitzt
   X auch mindestens ein maximales Element.
   ja, wenn du unter "geordnet" das verstehst, was der wikipedia-artikel "halbgeordnet" nennt. aber die begriffsbildungen im bereich ordnung sind - nun ja: - etwas unordentlich.
   Ich muss zugeben, dass ich mich nicht großartig eingelesen
   habe, aber ist das nicht eigentlich falsch, denn wenn
   X=(1,2)={x € IR : 1<x<2} (Oder muss ich 1<=x
   schreiben, damit es vollständig geordnet wäre?)
   im offenen intervall X = (1,2) ist aber sicher die zweite bedingung (dass JEDE total geordnete teilmenge eine obere schranke hat) sicher nicht erfüllt. nimm z.b. die teilmenge der brüche 1 + (n-1)/n. sie hat keine obere schranke in (1,2). deswegen muss (1,2) auch kein maximales element enthalten. zorns lemma sagt nur: wenn jede totalgeordnete teilmenge eine obere schranke in der grundmenge hat, dann muss es maximale elemente geben.
   Aber in diesem Fall hätte X ja gar kein maximales Element, da
   man immer mindestens ein x_0 € (1,2) findet, fuer dsa gilt x_0
   > x, (wobei x<2). Also kein maximales Element.
   das argument sticht nicht; es geht nicht darum, obs immer was größeres gibt, sondern ob JEDER total geordnete teilbereich eine obere schranke in der menge hat.
   Da dieses Lemma ein Axiom ist, ist es auch nicht bewiesen. Ich
   habe gehört, dass es trotzdem für einige Beweise verwendet
   wird.
   ja - es ist gezeigt worden, dass zorns lemma zum auswahlaxiom und zum "wohlordnungssatz" äquivalent ist. ich persönlich habe das auswahlaxiom immer als intuitiv recht einleuchtend empfunden, während der wohlordnungssatz mir gar nicht intuitiv vergekommen ist. aber sieh da: alle 3 sind gleichwertig. wer das auswahlaxiom akzeptiert, darf zorns lemma verwenden, muss aber auch das wohlordnungsprinzip "schlucken".
   Ich habe da jetzt auch keine Literatur, in der das Lemma
   erwähnt wird...Und der größte Fan von Wikipedia bin ich auch
   nicht. Kann also mal jemand das Lemma kommentieren?
   
   es gibt sehr gute wikipedia-artikel und leider auch sehr schlechte. gerade im bereich mathematik gibt es grottenschlechte artikel - nicht etwa, weil sie fehler enthielten, sondern weil sie massiv fachchinesisch überladen und für jemand, der nicht gerade eingelesen ist, völlig unverständlich sind. und - by the way - es kommt mir vor, dass das in der teutschen wikipedia besonders schlimm ist. auch der artikel über zorns lemma ist ziemlich überladen, aber im ersten teil fasst er das wichtige kurz zusammen.
   
   hth
   m.
   

   • Antwort von nach 18 Stunden 1 hilfreich

     nachtrag

     Da dieses Lemma ein Axiom ist, ist es auch nicht bewiesen. Ich
     habe gehört, dass es trotzdem für einige Beweise verwendet
     wird.
     naja: zorns lemma ist kein axiom, sondern ein lemma - also ein "hilfssatz".
     man kann es aber als axiom verwenden ... denn: ja - es ist gezeigt worden, dass zorns lemma zum auswahlaxiom
     und zum "wohlordnungssatz" äquivalent ist. ich persönlich habe
     das auswahlaxiom immer als intuitiv recht einleuchtend
     empfunden, während der wohlordnungssatz mir gar nicht intuitiv
     vergekommen ist. aber sieh da: alle 3 sind gleichwertig. wer
     das auswahlaxiom akzeptiert, darf zorns lemma verwenden, muss
     aber auch das wohlordnungsprinzip "schlucken".
     
     du kannst also die aussage von zorns lemma als axiom verwenden und bekommst dann das auswahl-"axiom" als aussage / "satz" zurück.
     
     axiome sind nie bewiesene dinge. unter einem axiom versteht man eine grundannahme, die man ohne beweis akzeptiert. zorns lemma ist keines, kann aber im austausch mit anderen sätzen als axiom verwendet werden.
     
     du findest einiges dazu unter
     http://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom
     
     m.
     

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