Einsteinsche Summenkonvention
Von: , Frage gestellt am Mi, 31. Jan 2007
Was bedeutet eigentlich, dass über doppelt vorkommende Indizes automatisch summiert wird, hat jemand ein anschauliches Beispiel?
3 Antworten zu dieser Frage
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Antwort von nach 23 Minuten 1 hilfreich
Re: Einsteinsche Summenkonvention
Hallo, Was bedeutet eigentlich, dass über doppelt vorkommende Indizes
automatisch summiert wird, hat jemand ein anschauliches
Beispiel?
Wenn du eine Matrix mit den Elementen Aij hast, und an die einen Vektor bk daranmultiplizierst, kannst du das als
Aijbj
schreiben. Da j zwei mal vorkommt, wird automatisch darüber summiert.
Damit kann man z.B. das Kreuzprodukt in Komponentenschreibweise notieren:
(a x b)i = εijk aj bk
Toll, nicht?
Grüße,
Moritz
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Re: Einsteinsche Summenkonvention
Hallo, Was bedeutet eigentlich, dass über doppelt vorkommende Indizes
automatisch summiert wird, hat jemand ein anschauliches
Beispiel?
um sich bei Formeln für die Matrix-Multiplikation in Komponenten nicht die Finger wund zu schreiben vereinbart man, dass man das Summenzeichen nicht explizit aufschreibt.
Nehmen wir an, du möchtest den Vektor V mit Komponenten (Vμ) in ein anderes Koordinatensystem transformieren, was durch Multiplikation mit der Transformationsmatrix Λ mit Komponenten (Λν μ) geschieht. In Komponenten stellt sich dies in der bekannten Art und Weise (`Zeile mal Spalte') dar:
V' = Λ V = (Σdμ=0 Λν μ Vμ)
In der strengen Variante der einsteinschen Summenkonvention lässt man nun das Summenzeichen Σdμ=0 weg und denkt sich fürderhin stets ein solches, wenn ein Index sowohl unten als auch oben vorkommt. Manch einer neigt in euklidischen Räumen dazu, obere und untere Indizes nicht zu unterscheiden und die Summenkonvention entsprechend aufzuweichen. Mit dem Preis, dass dann regelmäßig eine Gleichung auftritt, in der in Worten dahinterstehen muss: `Keine Summation über μ!'
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Philipp