Definition Abbildung IV Induktion Abbildungen

Abbildungen einer endlichen Menge in sich

Von: , Frage gestellt am Sa, 28. Okt 2000

Hallo!

Sitze gerade vor dem Beweis des folgenden Satzes und komme einfach nicht weiter. Vielleicht kann mir jemand von euch helfen.

Ist M eine endliche Menge und f:M->M eine Abbildung, so sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(1) f ist injektiv
(2) f ist surjektiv
(3) f ist bijektiv.

Meiner Meinung nach gilt doch (3)=>(1) und (3)=>(2) nach Definition, und wenn man (1)<=>(2) gezeigt hat, gilt doch auch (1)=>(3) und (2)=>(3), oder täusche ich mich da?

In diesem Fall ist mein Problem also nur der Beweis von (1)<=>(2). Habe es schon mal per Induktion über die Mächtigkeit von M probiert, aber komme leider nicht weit.

Vielen Dank schon mal.

Matthias

6 Antworten zu dieser Frage

1. Antwort von nach 28 Minuten 1 hilfreich

   Re: Abbildungen einer endlichen Menge in sich

   Re Hallo! (1) f ist injektiv
   (2) f ist surjektiv
   (3) f ist bijektiv.
   
   Meiner Meinung nach gilt doch (3)=>(1) und (3)=>(2) nach
   Definition, und wenn man (1)<=>(2) gezeigt hat, gilt
   doch auch (1)=>(3) und (2)=>(3), oder täusche ich mich
   da?
   Daß Du "(1)=>(3)" und "(2)=>(3)" nicht folgern kannst, siehst Du leicht, wenn Du Dir ein passendes und einfach zu durchschauendes Beispiel konstruierst. Ich hätte folgendes anzubieten (n sei eine Zahl):
   
   (1) n ist durch 5 teilbar
   (2) Die letzte Ziffer von n ist "0" oder "5"
   (3) n ist durch 15 teilbar
   
   Hier gilt außer (3)=>(1) und (3)=>(2) auch (1)<=>(2), aber die Implikationen "(1)=>(3)" und "(2)=>(3)" sind trotzdem falsch.
   
   Mit freundlichem Gruß
   Martin
   

   • Antwort von nach einem Tag hilfreich

     Re^2: Abbildungen einer endlichen Menge in sich

     Aber kann man nicht in diesem speziellen Fall wie folgt schließen, wenn man (1)<=>(2) gezeigt hat?
     
     (1)=>(3)
     
     Nach Voraussetzung ist f injektiv und wegen (1)<=>(2) auch surjektiv. Nach Definition ist dann f bijektiv.
     

     • Antwort von nach einem Tag hilfreich

       Re^3: Abbildungen einer endlichen Menge in sich

       Richtig. Das gilt aber halt nur in solchen Faellen, wo 1 und 2
       =>3 gilt. ((1 und 1=>2) (=>) (1 und 2) (=>) 3.
       
       Die benoetigten Aequivalenz zeigst Du leichter indirekt, d.h.
       nicht 1 <=> nicht 2. Das ist viel einfacher.
       
       MFG
       ein anderer Martin [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
       

     • Antwort von nach 3 Tagen hilfreich

       Re^3: Abbildungen einer endlichen Menge in sich

       Genau so ist es !!
       
       Denn:
       
       Betrachtet man folgende Aussagen A1, A2 mit
       A1: f ist injektiv
       A2: f ist surjektiv
       A1 und A2 : f ist bijektiv
       so gilt folgende Wahrheitstafel
       
       a1 a2 a1<=>a2 a1 und a2
       w w w w
       w f f f
       f w f f
       f f w f
       
       Hat man a1<=>a2 bereits gezeigt, so kann f nur dann bijektiv
       sein wenn a1 und a2 gilt. q.e.d.
       
       Es gilt hier insbesondere (1) => (3) und (2) => (3)
       allerdings immer nur für ENDLICHE Mengen.
       
       Gruß Frank [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
       

2. Antwort von nach 6 Tagen hilfreich

   Re: Abbildungen einer endlichen Menge in sich

   Hallo Mathias,
   ich führe Dir den Beweis mit einer Methode vor , wie ich es in der Analysis-Vorlesung gelernt habe:
   i)die Äquivalenz ist bewiesen , wenn der Ringschluß
   (1)=>(2)=>(3)=>(1)bewiesen ist
   ii)
   Sei f injektiv,dann existiert eine Abbildung g mit der Eigenschaft g.f=id(M). Weil M gleichzeitig Urbild und Bildraum
   ist, gilt dann auch f.g=id(M). Also ist f auch surjektiv.
   iii)Sei f surjektiv, dann existiert eine Abbildung g mit der Eigenschaft f.g=id(M). Weil Weil M gleichzeitig Urbild und
   Bildraum ist, gilt dann auch f.g=id(M).Also ist f bijektiv.
   iv)Sei f bijektiv, dann ist f auch injektiv q.e.d.
   
   Franz Schreiner
   
   http://www.webfranz.de [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
   

   • Antwort von nach 8 Tagen hilfreich

     Re^2: Abbildungen einer endlichen Menge in sich

     i)die Äquivalenz ist bewiesen , wenn der Ringschluß
     (1)=>(2)=>(3)=>(1)bewiesen ist
     Stimmt! ii)
     Sei f injektiv,dann existiert eine Abbildung g mit der
     Eigenschaft g.f=id(M). Weil M gleichzeitig Urbild und Bildraum
     ist, gilt dann auch f.g=id(M). Also ist f auch surjektiv.
     Vorsicht, Du hast die Endlichkeit von M nicht gebraucht, d.h. der Beweis müsste strenggenomen für alle Mengen gelten, was nicht sein kann, wie Du weisst. Was Du folgern kann ist f.g=id(f<M>). Das ergibt aber leider keine Surjektivität. iii)Sei f surjektiv, dann existiert eine Abbildung g mit der
     Eigenschaft f.g=id(M). Weil Weil M gleichzeitig Urbild und
     Bildraum ist, gilt dann auch f.g=id(M).Also ist f bijektiv.
     Ähnliches gilt hier. iv)Sei f bijektiv, dann ist f auch injektiv q.e.d.
     Genau! Per Definition.
     
     Vieleicht hast Du Sätze benutzt, die Ihr in der Vorlesung speziell für endliche Mengen formuliert habt? Das würde den Beweis retten.
     
     Achim
     

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