Hallo
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Schulklasse von 30
Schülern mindestens 2 am selben Tag Geburtstag haben, soll bei
etwa 60% liegen, glaube ich mal gelesen zu haben. Meine
Versuche, dies nachzuvollziehen, scheitern.
Wo liegt in folgender Argumentation der Fehler:
Die W., dass ein bestimmter Schüler an einem bestimmten Tag
Geb. hat, ist 1/365.
Hier nimmt der Fehler in der Rechnung schon seinen Anfang.
Der von dir genutzte Rechenweg würde stimmen, wenn die Wahrscheinlichkeit dafür ausgerechnet werden soll, daß zwei Schüler an einem ganz bestimmten Tag - zum Beispiel am 26.06. - Geburtstag haben sollen. Dafür ist die Wahrscheinlichkeit in der Tat sehr klein.
Die Bedingung, daß zwei Schüler an einem ganz bestimmten Tag Geburtstag haben sollen, ist jedoch gar nicht vorhanden; die Bedingung lautet nur: Geburtstag am gleichen Tag, egal an welchem. Dadurch gibt es wesentlich mehr Möglichkeiten, und die Wahrscheinlichkeit für ein solches Ereignis ist dementsprechend höher.
Man könnte deine Überlegungen also um kombinatorische Überlegungen ergänzen. Dann würden in dem Rechenweg Faktoren auftauchen, welche zu einem richtigen Endergebnis führen.
Ein einfacherer Rechenweg, der zu diesem Problem schon oft vorgetragen wurde, lautet:
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Man ermittelt zunächst die Wahrscheinlichkeit q für das logische Gegenteil des betrachteten Ereignisses. Das logische Gegenteil des betrachteten Ereignisses lautet: Die 30 Schüler haben an 30 unterschiedlichen Tagen Geburtstag. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit hierfür ? Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist gleich dem Quotienten aus der Anzahl der Möglichkeiten, von 365 Kalendertagen 30 unterschiedliche Tage auf die 30 Schüler zu verteilen (365 * 364 * … * ((365-30)+1) und der Anzahl aller Möglichkeiten, 30 beliebige Kalendertage auf die 30 Schüler zu verteilen (365 hoch 30).
-
Die Wahrscheinlichkeit p für das Ausgangsereignis ist dann 1 - q.
Konkret erhält man q = ca. 0,2937 und
p = ca. 0,7063 = 70,63 %.
Die W., dass ein bestimmter Schüler an einem bestimmten Tag
nicht Geb. hat, ist 1-1/365=364/365.
Die W., dass keiner an einem bestimmten Tag Geburtstag hat,
ist (364/365)^30=0,921.
Die W., dass genau einer an einem bestimmten Tag Geburtstag
hat, ist 30*(1/365)*(364/365)^29=0,0759.
Die W., die ich suche, ist doch, dass mindestens 2 an einem
bestimmten Tag Geburtstag haben. Das müsste das Gegenereignis
zu „höchstens einer hat an einem bestimmten Tag Geburtstag“
sein. Also sollte die W. dafür
1-0,921-0,0759=0,0031 sein, was von den anvisierten 0,6 doch
recht verschieden ist.
Muss man hier mit bedingten Wahrscheinlichkeiten herangehen?
Wenn ja, dann würde ich einwenden, dass die Frage nicht lautet
„Wie wahrscheinlich ist es, dass mindestens noch einer
Geburtstag hat, wenn ein anderer Geburtstag hat?“, sondern
siehe oben. Außerdem müsste eine bedingte Wahrscheinlichkeit
immer niedriger sein als eine unbedingte. Mithin würde ich
mich noch mehr vom gewünschten Ergebnis entfernen.
Danke für Antworten, Tychi
