Beweise positive Definitheit von Matrizen

[guschdldererste]

Hallo!
Ich soll folgende Aussagen prüfen:

Das Produkt zweier pos. definiter Matrizen ist positiv definit.

Das Produkt zweier symmetrischer pos. definiter Matrizen ist pos. definit.

Das Produkt zweier symmetrischer pos. definiter Matrizen ist symmetrisch pos. definit.

Es gilt auch durch ein Beispiel zu zeigen, dass eine Aussage nicht gilt. Weiß aber nicht wo ich anfangen soll mit Beispiel suchen. Bin Maschinenbauer und hab auch nicht so viel Ahnung von Beweisführung. Bei einer pos. definiten Matrix müssen doch nur die Eigenwerte positiv sein???

Vielen Dank schon mal für jede Hilfe!

Flo

[M_L_]

Auch hallo.

Es gilt auch durch ein Beispiel zu zeigen, dass eine Aussage
nicht gilt. Weiß aber nicht wo ich anfangen soll mit Beispiel
suchen.

Dafür wären 2x2 Matrizen als Studienobjekte wohl denkbar.

Bei einer pos. definiten Matrix müssen doch
nur die Eigenwerte positiv sein???

Ja: http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem (Eigenschaften)
Die entsprechenden Beweise sind in der Linearen Algebra zu finden.

mfg M.L.

[guschdldererste]

Leider hab ich nirgends was gefunden zu diesem Thema! Die Aussage 2 und 3 sind wahr, deshalb lässt sich da leider kein Gegenbeispiel dazu finden!
Natürlich sind die Sachen in der lin. Algebra zu finden. Hätte ich es gefunden hät ich wohl kaum hier gepostet. Gesucht hab ich viel!

Gibt es keinen Zusammenhang bei der Multiplikation von 2 Matrizen und den daraus resultierenden Eigenwerten???
Hoffe mir kann jemand weiterhelfen!

Vielen Dank!

Flo

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[infestimus_22851d]

Das Produkt zweier symmetrischer pos. definiter Matrizen ist
symmetrisch pos. definit.

Falsch!

Gegenbeispiel, d = 2, über doppelte Indices wird summiert:

C_ik = A_im*B_mk

C_12 = C_21
⇔ A_11*B_12 + A_12*B_22 = A_21*B_11 + A_22*B_21
⇔ A_11*B_12 + A_12*B_22 = A_12*B_11 + A_22*B_12
⇔ (A_11-A_22)*B_12 = A_12*(B_11 - B_22)
⇔ (A_11-A_22)/A_12 = (B_11 - B_22)/B_12 für B_12, A_12 ≠ 0

Es lassen sich leicht unabhängige Matrizen finden, bei denen dies nicht erfüllt ist. Positiv definit spielt hier übrigens keine Rolle.

[infestimus_22851d]

Das Produkt zweier symmetrischer pos. definiter Matrizen ist
pos. definit.

Das ist hinreichend wahr, wenn

Das Produkt zweier pos. definiter Matrizen ist positiv
definit.

erfüllt ist. Also Beweisen wir das zweite Anliegen:

O.B.d.A. wählen wir eine Basis, in der die erste Matrix A diagonal ist. Folgendes ist zu beweisen:

‹x|A*B|x› > 0 ∀ |x› ≠ |0›

In der Basis {|k›}, in der A diagonal ist, ist

A = Σ_k A_k |k›‹k|
B = Σ_k,l B_kl |k›‹l|
|x› = Σ_k x_k |k›

‹x|A*B|x› > 0
⇔ Σ_k,l x_k * x_l * A_k * B_kl > 0
⇔ Σ_k,l x_k * x_l * (A_k + A_l) * B_kl > 0

Das kann man machen, da das Produkt der Matrix (x_k * x_l) mit einer antisymmetrischen Matrix verschwindet, man hat (A_k * B_kl) als Summe des symmetrischen und antisymmetrischen Anteils geschrieben und den antisymetrischen sowie den Faktor 1/2 fortgelassen.

Apropos symmetrisch ⇔ Hermite’sch

Jetzt gilt der Satz:

Eine symmetrische bzw. Hermite’sche Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle ihre Hauptminoren positiv sind.

[http://de.wikipedia.org/wiki/Definitheit#_note-1 ]

Also muss man jetzt beweisen, dass

A₁* B₁₁ > 0

⌈ (A<sub>1</sub> + A<sub>1</sub>) \* B<sub>11</sub> (A<sub>1</sub> + A<sub>2</sub>) \* B<sub>12</sub> ⌉
⌊ (A<sub>1</sub> + A<sub>2</sub>) \* B<sub>12</sub> (A<sub>2</sub> + A<sub>2</sub>) \* B<sub>22</sub> ⌋

etc.

positiv ist.

Ich dachte eigentlich, dass das trivial ist, aber schon bei der zweiten Hauptminore bleibe ich stecken! Das liegt aber nur daran, dass ich vergessen habe, wie man mit Determinanten hantiert! (Man muss Vielfaches von Zeilen und Spalten geschickt addieren …)

Kennt sich jemand mit Determinanten aus?

Wie addiert man geschickt Vielfache von Zeilen und Spalten, um zu zeigen, dass die Determinante

⌈ (A<sub>1</sub> + A<sub>1</sub>) \* B<sub>11</sub> (A<sub>1</sub> + A<sub>2</sub>) \* B<sub>12</sub> ⌉
⌊ (A<sub>1</sub> + A<sub>2</sub>) \* B<sub>12</sub> (A<sub>2</sub> + A<sub>2</sub>) \* B<sub>22</sub> ⌋

positiv ist, wenn

⌈ B<sub>11</sub> B<sub>12</sub> ⌉
⌊ B<sub>12</sub> B<sub>22</sub> ⌋

positiv ist?

[infestimus_22851d]

Hätte man verzichtet, A*B zu symmetrieren, wäre es einfach

⌈ A<sub>1</sub> \* B<sub>11</sub> A<sub>1</sub> \* B<sub>12</sub> ⌉
⌊ A<sub>2</sub> \* B<sub>12</sub> A<sub>2</sub> \* B<sub>22</sub> ⌋


> 

= A₁ * A₂ *

⌈ B<sub>11</sub> B<sub>12</sub> ⌉
⌊ B<sub>12</sub> B<sub>22</sub> ⌋


> 

= A₁ * A₂ * Hauptminor(B,2) > 0,
da A_k > 0, und Hauptminor(B,2) > 0

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