wert Arbeit lineare Gleichung Translation Koordinaten vorgaben

Transformationsmatrix erstellen

Von: , Frage gestellt am Do, 11. Okt 2007

Moien

In der Bildverarbeitung gibt es Transformationsmatrixen (3x3) die im 2D-Raum Punkte skalieren, rotieren und verschieben. Wie man die Matrixen aus Vorgaben (Rotiere um x°, verschiebe um y Pixel) erstellt ist mir klar. Ich bräuchte jetzt aber dem ungedrehten Fall. Ich habe einige Punktepaare und brauche (sehr schnell) eine passende Transformationsatrix.

Die Koordinaten der Punktepaare sind dabei allerdings u.U. fehlerhaft.

Wie macht man sowas? Es sollte möglich sein eine Regressionsgleichung dafür aufzustellen, aber irgendwie reicht mein Wissen dafür nicht.

cu

9 Antworten zu dieser Frage

1. Antwort von nach 2 Stunden 0 hilfreich

   Re: Transformationsmatrix erstellen

   Hallo,
   
   meinst Du 2D oder 3D?
   
   Olaf
   

   • Antwort von nach 2 Stunden 0 hilfreich

     Re^2: Transformationsmatrix erstellen

     Moien In der Bildverarbeitung gibt es Transformationsmatrixen (3x3) die
     im 2D-Raum Punkte ...
     meinst Du 2D oder 3D?
     2D
     
     cu
     

     • Antwort von nach 3 Stunden 0 hilfreich

       Re^3: Transformationsmatrix erstellen

       meinst Du 2D oder 3D?
       2D
       Dann verstehe ichs nicht. Wie wendet man denn ne (3*3)-Matrix auf nen 2D-Punkt an?
       
       Olaf
       

       • Antwort von nach 3 Stunden 0 hilfreich

         Re^4: Transformationsmatrix erstellen

         Moien Dann verstehe ichs nicht. Wie wendet man denn ne (3*3)-Matrix
         auf nen 2D-Punkt an?
         Homogene Transformationsmatrizen sind immer eine Dimension grösser als der Raum in dem man arbeitet. D.h. OpenGL/DirectX arbeiten mit 4x4, Bildverarbeitung mit 3x3.
         
         Dabei ist die obere linke Matrix immer die Rotation/Skalierung, die untere Zeile immer 0,...,0,1 und die Werte ganz rechts sind die Translation. Der zusätzliche Wert in den Koordianten ist immer 1. => http://de.wikipedia.org/wiki/Homogene_Koordinaten#Wi...
         
         cu
         

2. Antwort von nach 4 Stunden 0 hilfreich

   Re: Transformationsmatrix erstellen

   Moien
   
   Transformationsmatrixen (3x3)
   2D-Raum Punkte skalieren, rotieren und verschieben.
   Ich habe einige Punktepaare und brauche
   (sehr schnell) eine passende Transformationsatrix.
   Nichts einfacher als das:
   
   (x',y',w') = T*(x,y,w)
   
   mit t_x = 1/x' und t_y = 1/y'
   
   á là http://de.wikipedia.org/wiki/Homogene_Koordinaten#Wi...
   

   • Antwort von nach 4 Stunden 0 hilfreich

     Re^2: Transformationsmatrix erstellen

     Moien (x',y',w') = T*(x,y,w)
     
     mit t_x = 1/x' und t_y = 1/y'
     Dann hab ich die Translation für ein Punktepaar. Ich hab aber ~20 Punktepaare die alle vom gleichen T abgebildet werden sollen. Und die sind nicht nur verschoben.
     
     Was nun ?
     
     cu
     

     • Antwort von nach 4 Stunden 0 hilfreich

       Re^3: Transformationsmatrix erstellen

       Moien (x',y',w') = T*(x,y,w)
       
       mit t_x = 1/x' und t_y = 1/y'
       Dann hab ich die Translation für ein Punktepaar. Ich hab aber
       ~20 Punktepaare die alle vom gleichen T abgebildet werden
       sollen. Und die sind nicht nur verschoben.
       Dann muss man 20 solcher Matrizen bilden. Das nette Ding nennt man dann ein Tensorfeld.
       Was nun ?
       
       cu
       

3. Antwort von nach 4 Stunden 0 hilfreich

   Re: Transformationsmatrix erstellen

   Ich habe einige Punktepaare und brauche
   (sehr schnell) eine passende Transformationsatrix.
   Schneller Algorithmus? Schnelle Postzustellung?
   
   hat man zwei Punkte a = (x,y) und b = (u,v), kann man leicht deren Beträge und den von ihnen eingeschlossenen Winkel berechnen:
   
   |a|² = x² + y²
   |b|² = u² + v²
   
   x*u + y*v = |a|*|b|*cos(c)
   
   Die 2 x 2 Matrix M mit M_11 = M_22 und M_12 = -M_21,
   
   M_11 = |b|*cos(c)/|a|
   
   M_12 = -|b|*sin(c)/|a|
   
   Sollte a in b überführen.
   

4. Antwort von nach einem Tag 0 hilfreich

   Re: Transformationsmatrix erstellen

   Moien
   
   In der Bildverarbeitung gibt es Transformationsmatrixen (3x3)
   die im 2D-Raum Punkte skalieren, rotieren und verschieben. Wie
   man die Matrixen aus Vorgaben (Rotiere um x°, verschiebe um y
   Pixel) erstellt ist mir klar. Ich bräuchte jetzt aber dem
   ungedrehten Fall. Ich habe einige Punktepaare und brauche
   (sehr schnell) eine passende Transformationsatrix.
   
   Die Koordinaten der Punktepaare sind dabei allerdings u.U.
   fehlerhaft.
   
   Wie macht man sowas? Es sollte möglich sein eine
   Regressionsgleichung dafür aufzustellen, aber irgendwie reicht
   mein Wissen dafür nicht.
   Die Regressions"gerade" kann man genauso einfach bestimmen, wie im Fall eines linearen Zusammenhanges zwischen zwei Variablen.
   
   Fall eines linearen Zusammenhanges zwischen zwei Variablen:
   
   ΔSumme(i, (mx_i + b - y_i)²) = 0,
   
   wobei m und b unabhängig variiert werden. Dies führt auf 2 lineare Gleichungen für m und b, die von <x²>, <xy>, <x> und <y> abhängen.
   
   Im 2-D Fall hat man statt (x_i, y_i) 2-Tupelpaare:
   
   (z_i; w_i) = (x_i, y_i; u_i, v_i)
   
   Mit
   
   ΔSumme(i, (R(z_i-t)+ t - w_i)²) = 0
   
   t ist der Translationsvektor t = (r, s) und R die Rotationsmatrix
   
   R₁₁ = R₂₂ = cos φ
   
   R₁₂ = -R₂₁ = -sin φ
   
   Geht man vor, wie bei der Regressionsgerade, erhält man vier Bestimmungsgleichungen für die drei Größen r, s und cos φ, die von <x²>, <y²>, <xy>, <xu>, <xv>, <yu>, <yv>, <x>, <y>, <u> und <v> abhängen.
   
   Das Problem ist also überbestimmt.
   cu
   

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