Leider ohne Corioliskraft
Könntest Du mir dafür bitte eine Formel liefern? Mit
Herleitung.
Aufstieg und Fall der Schnecke Makkaroni
oder
Die Schnecke und der Esel, die hatten einen Streit
oder
Schecke, Esel, Band, eine Erfolglos Schlitternde Beschleunigung
Die Personen und ihre Darsteller:
l Gummibandlänge im ungedehnten Zustand
e(t) Position des Esels zum Zeitpunkt t
s(t) Position der Schnecke zum Zeitpunkt t
sdotdot(t) ihre zweite zeitliche Ableitung
F(t) statische Kraft im Gummiband
D Federkonstante des Gummibandes
r Stelle auf der x-Achse, an der das Gummiband reißt.
D2 Fedekonstante nach der Metamorphose
Fg Gleitreibungskraft der rutschenden Schnecke
Fh maximale Kraft, die auf eine nicht rutschende Schnecke übertragen werden kann.
g Erdbeschleunigung
m Masse der Schnecke
gg Gleitreibungskoeffizient für das System Schnecke-Gummiband
gh Haftreibungskoeffizient für das System Schnecke-Gummiband
Zunächst einmal will ich die Ausgangssituation beschreiben:
.S.............E
----------------------------------->x-Achse
-l.............0
Exxxposition
Das ganze Drama spielt auf der x-Achse. Der Esel steht am Beginn des ersten Aktes im Ursprung. Das Gummiband ist noch nicht gespannt und hat die Normallänge l. Das Gummiband hängt hinter dem Esel, also in Richtung der negativen x-Achse. Die Schnecke am anderen Ende des Gummibandes befindet sich also am Anfang bei x=-l hier sei auch das Gummiband befestigt.
Exxxtension
Irgendwann später zum Zeitpunkt t ist der Esel weitergelaufen bis nach x=e(t) (e(t)>0). Die Schnecke ist teils aus eigener Kraft, teils aufgrund der Banddehnung bis zum Punkt x=s(t) (-l<s(t)<e(t)) vorangekommen. Das Gummiband spannt sich also von x=-l, wo es immer noch befestigt ist, bis zum Esel bei e(t). Die Kraft im Gummiband berechnet sich proportional zu der verlängerung des Gummibandes, die durch diese Kraft zustande kommt. Also F(t)=D*e(t). (Deswegen musste der Esel also bei Null anfangen, damit diese Formel einfacher wird. Es gibt aber schlimmere Gründe, warum manch anderer Esel wieder bei Null anfangen muss.)
Exxxkurs
Während so nach und nach die Spannung steigt, ist es dennoch notwendig, bevor die heraufsteigende Kathastrophe eintritt, einige Details zu erwähnen, die im weiteren Verlauf für die Handlung wichtig sind.
Für die Bühnenfassung soll die Masse des Gummibandes vernachlässigbar sein, da sonst der abendfüllende Zeitrahmen gesprengt würde. Für das Buch zum Film kommt aber durch ein massebelegtes Gummiband mehr Dynamik in die Geschichte. Weiter seien als Kostüme für Esel und Schnecke recht enge Kleidung zu verwenden, so dass die beiden Darsteller wie Massenpunkte agieren. Solche Größen wie der Luftwiderstand der Schnecke, werden also auf unserem Theater wegrationalisiert. Auch der Heckspoiler der Schnecke kommt allenfalls in der Hollywood-Version vor und hat bei uns keinen Einfluss auf die Handlung. Sowohl die Geschwindigkeit der Schnecke als auch die des Esels seien so gering, dass sie einem Stillstand gleichkommen, wenn man mit dem Vergleicht, was gleich passieren wird.
Exxxplosion
Die Aufmerksamkeit richtet sich auf einen Punkt r zwischen -l und s(t) (-l<r<s(t)), also hinter der Schnecke. Denn urplötzlich, zu einem völlig unerwarteten Zeitpunkt, den wir aus vereinfachenden Gründen t=0 nennen wollen, tritt das Ereignis ein, das der Zuschauer schon längst auf Grund der gestiegenen Spannung, die das Gummiband genauso stretcht wie die Nerven, erwartet und aus einem unerfindlichen Grund, den der Autor dieses Dramas den Lesern verschweigt, gibt eben dieses Gummiband an der Stelle r nach und (Kunstpause) zerreißt.
Bei genauerer Betrachtung dieses Zeitpunktes fällt auf, dass das Stück Gummiband zwischen der Befestigungsstelle -l und der Rissstelle r nun durch keine Kraft mehr gedehnt wird und somit seine ursprüngliche Länge wieder einnimmt. Dies geschieht praktisch sofort, da ja die Masse des Gummibandes als so klein angenommen werden kann, dass keine Beschleunigungskräfte berücksichtigt werden müssen. Ähnlich ergeht es dem Gummibandstück zwischen r und s(t=0). Auch hier tritt sofort eine Entspannung ein. Eine Trennung führt also in diesem Fall zur Entspannung der Situation, aber nur in einem Teilbereich. An der Stelle s(t) wird das statische Kräftegleichgewicht zu einem dynamischen, das also um die Beschleunigungskräfte ergänzt werden muss. Hier macht die Federkonstante D eine Metamorphose durch. Wo zum Zeitpunkt t=0 galt F(t<0)=D*e(t) gilt jetzt F(t>0)=D2*(h-s(t)). Dabei ist x=h der Punkt, an dem sich der Teil des Gummibandes befinden, auf dem die Schnecke sitzt, wenn das gerissene Gummiband keine Kräfte aufnimmt. h ist also durch
(e(t=0)+l)/l=(e(t=0)-s(t=0))/(e(t=0)-h)
gegeben. Die Federkonstante des verkürzten Gummibandes ergibt sich zu:
D2=D*(e(t=0)+l)/l
Klimaxxx
Da jetzt durch das Gummiband auf die Schnecke eine beschleunigende Kraft wirkt, soll die Schnecke-Gummiband-Interaktion näher untersucht werden. In einem ersten Fall wäre es möglich, dass die Schnecke im ersten Schreck vom Band fällt, das dann, da masselos, sofort unter ihr wegflutscht. Dieser Fall erfordert jedoch mehr als die eine x-Dimension, die die von uns gewählte Bühne bildet. Es kommt als noch der zweite Fall in betracht, dass die Schnecke auf dem Gummiband entlanggleitet, oder vielmehr, dass das Gummiband unter ihr weggleitet. Welche Kraft dabei auf die Schnecke übertragen wird, hängt von dem Gleitreibungskoeffizient zwischen Schnecke und Gummiband und dem Gewicht der Schnecke ab. Fg=g*m*gg. Im weiteren ist es dann fraglich, wann die Schnecke beim Rutschen das Ende des Bandes erreicht hat und somit in die freie Flugphase übertritt. Die speziellen Eigenschaften des Schneckenfußes legen allerdings nahe, dass die Haftreibung Fh=g*m*gh größer ist als die Beschleunigungskraft, so dass die Schnecke also auf Gedeih und Verderb mit dem Gummiband verbunden bleibt.
Exxx und Hopp
Die auf die Schnecke wirkende Kraft ist allerdings kleiner als die eben errechnete Haftreibungskraft. Sie wird allein durch das Gummiband bestimmt: F(t>0)=D2*(h-s(t)). Diese Kraft wirkt nach Newton beschleunigend auf die Schnecke: m*sdotdot(t)=D2*(h-s(t)) und damit wird nun die ganze Dynamik klar. Mit den bereits beschriebenen Ausgangsbedingungen ist durch dieses Gesetz des Handelns bereits der weitere Verlauf des Stückes vorgezeichnet. Denn diesen Plot hat der Zuschauer schon in vielen Filmen und Stücken miterlebt: lineare Differenzialgleichung zweiten Grades. Beim ersten Mal ist das ja ganz phantastisch und auch ein Wiederentdecken in vielen Situationen mag mit manchem Thrill mit dieser linearen Differenzialgleichung zweiten Grades die Nerven kitzeln, aber bald erkennt man eben doch, dass es immer wieder auf das selbe happy End hinausläuft. Das hat auch schon der Regisseur und Theaterkritiker Bronstein so gesehen. Mit einem offenen Ende überlasse ich also den weiteren Verlauf der Handlung der Phantasie des geneigten Publikums. Der Rest ist Schweigen.
