Gausssche Fehlerfortpflanzung | aus Forum Physik

Gausssche Fehlerfortpflanzung

Von: , Frage gestellt am Fr, 16. Nov 2007

Hallo zusammen,

Zeichenerklärung: Dx=Fehler ; folgend bezeichne ich für Delta = D

Beispiel:
x=a+b oder x=a-b
--> Dx = sqrt[(Da)^2+(Db)^2]
hier werden also die absoluten Fehler addiert

x=a*b oder x=a/b
--> Dx/x = sqrt[(Da/a)^2+(Db/b)^2]
hier werden die relativen Fehler addiert

Meine Frage:
gibts so ein Fortpflanzungsgesetz auch für die Standardmessunsicherheit bzw. die Standardabweichung?? Wie kann ich zwei oder mehrere Standardmessunsicherheiten bzw. Standardfehler addieren?

10 Antworten zu dieser Frage

Antwort von nach 58 Minuten 0 hilfreich

Re: Gausssche Fehlerfortpflanzung

Hallo,

Ich glaube, du hast einen Fehler in der Formel. Die Formel für die Fehlerfortpflanzung ist:

DG = Wurzel( (dG/da * Da)² + (dG/db * Db)² )

wobei G die Funktion ist, DG der Fehler der Funktion, a,b zwei fehlerbehaftete Größen (mit den Fehlern Da und Db) in der Funktion und dG/da die partielle Ableitung von G nach a, dG/db die part.Abl. von G nach b.

Beispiel 1:

G = a+b

dG/da = 1
dG/db = 1

DG = Wurzel( (1 * Da)² + (1 * Db)² ) = Wurzel(Da²+Db²)

Beispiel 2:

G = a*b

dG/da = b
dG/db = a

DG = Wurzel( (b * Da)² + (a * Db)² )

Beispiel 3:

G = a/b

dG/da = 1/b
dG/db = -a/b²

DG = Wurzel( (b * Da)² + (-a/b² * Db)² )

Wie du siehst, hat das alles mit absolutem und relativem Fehler nichts zu tun. Außerdem ist das Ergebnis UNTERSCHIEDLICH für a*b und a/b.

Alles klar?

LG
Jochen

Antwort von nach 3 Stunden 0 hilfreich

Re^2: Gausssche Fehlerfortpflanzung

Hi,

ja, da hast du so wie's aussieht recht Jochen. Dann steht's wohl flasch in dem Skript drin wo ich es rausgeschrieben hatte! War en Skript von der Uni-Karlsruhe, naja, danke für die Korrektur und die tollen Beispiele! ;-)

Aber meine eigendliche Frage war ja, ob ich dieses Gesetz auch für die Messunsicherheit bzw. für die Standardabweichung (beides Prozentual in Werten vorhanden) einsetzen kann! Oder gilt dieses beschriebene Gesetz wirklich nur für die Fehler?!

Gruß
Jürgen
- Antwort von nach 7 Stunden 0 hilfreich
  
  Re^3: Gausssche Fehlerfortpflanzung
  
  Hallo, Aber meine eigendliche Frage war ja, ob ich dieses Gesetz auch
  für die Messunsicherheit bzw. für die Standardabweichung
  (beides Prozentual in Werten vorhanden) einsetzen kann! Oder
  gilt dieses beschriebene Gesetz wirklich nur für die Fehler?!
  Das Prinzip der Fehlerfortpflanzung beruht im Prinzip auf der VARIANZADDITIVITÄT.
  
  Weil die Fehler-Werte vor der Addition quadriert werden, funktioniert das Verfahren für alle Fehler mit der gleichen Einheit wie die Messgröße (also egal, ob Standardabweichung, MAD, Kleinstfehler oder Größtfehler).
  
  LG
  Jochen
Antwort von nach einem Tag 0 hilfreich

Formeln stimmen!

Hallo Jochen,
Jürgens Formels stimmen schon. Sie ergeben sich aus dem allg. Fehlerfortpflanzungsgesetz. Für den prakt. Gebrauch ist es durchaus sinnvoll, sich solche Regeln zu merken und nicht jedes mal wieder auf die part. Ableitungen zurück zu kommen. Dabei ergibt sich eben, das bei Summen und Differenzen die absoluten Fehler (Messunsicherheiten), bei Produkten und Quotienten die relativen Fehler (Messunsicherheiten) quadratisch addiert werden.
Ich glaube, du hast einen Fehler in der Formel.
nein! Die Formel für
die Fehlerfortpflanzung ist:

DG = Wurzel( (dG/da * Da)² + (dG/db * Db)² )

wobei G die Funktion ist, DG der Fehler der Funktion, a,b zwei
fehlerbehaftete Größen (mit den Fehlern Da und Db) in der
Funktion und dG/da die partielle Ableitung von G nach a, dG/db
die part.Abl. von G nach b.
Stimmt (dein "G" heißt in jürgens Skript eben "x")
...:
Beispiel 2:

G = a*b

dG/da = b
dG/db = a

DG = Wurzel( (b * Da)² + (a * Db)² )

Nun rechnen wir den rel. Fehler aus, d.h. wir dividieren beide Seiten durch G bzw. a*b:
DG / G = Wurzel( (b * Da)² + (a * Db)² ) / (a*b)
DG / G = Wurzel( (Da / a)² + (Db / b)² )
q.e.d. Beispiel 3:

G = a/b

dG/da = 1/b
dG/db = -a/b²

DG = Wurzel( (b * Da)² + (-a/b² * Db)² )
Wir verbessern zunächst einen kleinen Tippfehler und rechnen dann wieder den rel. Fehler aus, d.h. wir dividieren beide Seiten durch G bzw. a/b:
DG = Wurzel( ((1/b) * Da)² + (-a/b² * Db)² )
DG / G = Wurzel( ((1/b) * Da)² + (-a/b² * Db)² ) / (a/b)
DG / G = Wurzel( (Da /a)² + (Db / b )² )

was mit dem Ergebnis von Bsp. 2 übereinstimmt.
q.e.d. Wie du siehst, hat das alles mit absolutem und relativem
Fehler nichts zu tun. Außerdem ist das Ergebnis
UNTERSCHIEDLICH für a*b und a/b.
In der ursprünglich geposteten Form --> Dx/x = sqrt[(Da/a)^2+(Db/b)^2]
kommt eben kein unterschiedl. Ergebnis raus!
Alles klar?
Ja!
LG
Jochen
Gruß Kurt
(PS: gemeinsam kriegen wir das schon hin)
- Antwort von nach einem Tag 0 hilfreich
  
  Re: Formeln stimmen!
  
  Hab Dank, Kurt!
  
  Ich habe was dazugelernt. Dieser doch sehr einfache Zusammenhang, den Du nochmal sauber dargestellt hast, ist mir entgangen.
  
  Deine Antwort weiter oben ist auch supergut!
  
  LG
  Jochen

Antwort von nach einer Stunde 0 hilfreich

Re: Gausssche Fehlerfortpflanzung

Moin,

ich habe gelernt, daß man den (Größt-)Fehler einer Funktion f(x_i) mit den einzelnen Abhängigen x_i und den zugehörigen Fehlern δx_i beschreibt als Summe der partiellen Ableitungen von f nach den Variablen x_i multipliziert mit deren jeweiligen Fehlern δx_i:

δf_max = Σ_i δx_i |∂f/∂x_i|

Gruß,
Ingo

Antwort von nach 3 Stunden 0 hilfreich

Re^2: Gausssche Fehlerfortpflanzung

Hi, ich habe gelernt, daß man den (Größt-)Fehler einer Funktion
f(x_i) mit den einzelnen Abhängigen x_i
und den zugehörigen Fehlern δx_i beschreibt als
Summe der partiellen Ableitungen von f nach den Variablen
x_i multipliziert mit deren jeweiligen Fehlern
δx_i:

δf_max = Σ_i δx_i|∂f/∂x_i|
ja, hab ich auch so gelern, nur ich hab aber nicht die jeweiligen Fehler der Funktion vorliegen, sondern "nur" die jeweiligen Messunsicherheiten und Standardabweichungen (als waren Wert mit Einheit und in Prozent)! Ich brächte also eine Möglichkeit die einzelnen Messunsicherheiten bzw. Standardabweichungen miteinander zu addieren bzw. zu verbinden!

Gruß
Jürgen
- Antwort von nach 5 Stunden 0 hilfreich
  
  Re^3: Gausssche Fehlerfortpflanzung
  
  Moin, ich habe gelernt, daß man den (Größt-)Fehler einer Funktion
  f(x_i) mit den einzelnen Abhängigen x_i
  und den zugehörigen Fehlern δx_i beschreibt als
  Summe der partiellen Ableitungen von f nach den Variablen
  x_i multipliziert mit deren jeweiligen Fehlern
  δx_i:
  
  δf_max = Σ_i δx_i|∂f/∂x_i|
  ja, hab ich auch so gelern, nur ich hab aber nicht die
  jeweiligen Fehler der Funktion vorliegen, sondern "nur" die
  jeweiligen Messunsicherheiten und Standardabweichungen (als
  In diesem Sinne ist die Meßunsicherheit der (maximale) Fehler, den Du begehen kannst (ausgenommen systematische Fehler).
  
  Die funktionale Abhängigkeit Deiner Meßwerte von den einzelnen Parametern solltest Du kennen und die Meßwerte der einzelnen Werte (zu denen Du den Fehler kennst), besitzt Du ja vermutlich auch.
  
  Gruß,
  Ingo

Antwort von nach einem Tag 0 hilfreich

Re: Gausssche Fehlerfortpflanzung

Hallo Jürgen!
Meine Frage:
gibts so ein Fortpflanzungsgesetz auch für die
Standardmessunsicherheit bzw. die Standardabweichung?? Wie
kann ich zwei oder mehrere Standardmessunsicherheiten bzw.
Standardfehler addieren?
Ja! Deine Formeln sind spezielle Regeln, die für bestimmte Fälle aus dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz (FFG) abgeleitet wurden (siehe Jochens Antwort). Das Gauß-FFG gilt für statistische Fehler (Messunsicherheiten). Vorausgesetzt ist, dass alle Eingangsfehler auf der gleichen Vertrauenswahrscheinlichkeit P beruhen. Meist nimmt man im Bereich Naturwissenschaften für den stat. Fehler eben die Standardabweichung (bei mehreren Messungen und genügend großer Stichprobe den Standardfehler des Mittelwerts), d.h. man begnügt sich mit P=68%. Für in der Qualitätssicherung tätige Ingenieure reicht das sicher nicht aus, die nehmen lieber k*sigma und wählen k so, dass sich z.B. P=99% ergibt.

Die allgemeine Verwirrung kommt daher, dass in vielen Büchern und Skripten zwei Fehrfortpflanzungsformeln stehen:
1) die von Gauß (mit den Quadraten)
2) das "lineare FFG" , das sich aus dem totalen Differential ergibt (mit Beträgen statt Quadraten und Wurzel, siehe Antwort von Ingo v. Borstel))

Hat man für die Messgrößen "Größtfehler" (z.B. im Sinne von Toleranzen, d.h. mit P=100%!) und sind dies systematische Fehler (d.h. es kann nicht ausgeschlossen werden, dass sich diese so verhalten, dass sich der "worst case" ergibt), dann kann man den Größtfehler mit dem lin FFG (2) bestimmen. In anderen Fällen ergibt sich mit (2) eine konservative Abschätzung ("im Zweifelsfall lieber zu groß").

Für statistische Fehler nimmst Du besser den Gauß!

Nachlesen kannst du das z.B. im Papula, Mathe f. Ing.:
Band 2, Kap. 2.5.5. Lineare Fehlerfortpflanzung
(insbes. den Zusammenfassungs-Kasten und die Anmerkungen dazu)
Band 3, Kap. 4 Fehlerfortpflanzung nach Gauß

Im Papula sollte man immer das ganze Kapitel lesen, weil am Anfang meist spezielle Beispiele kommen und erst am Ende die allgemeine Zusammenfassung!

Gruß Kurt

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