Hallo, wenn ich einen Würfel gegeben habe mit der Kantenlänge 1 und dieser Würfel wird von einer Ebene E durch den Mittelpunkt senkrecht zur Raumdiagonalen geschnitten. Und ich suche jetzt den Winkel zwischen der Ebene E und einer Würfelfläche, sowie die Fläche des entstehenden Sechsecks, wie muss ich hier vorgehen?
Danke für Hilfe im voraus!!!
lg Daniel
hi,
Hallo, wenn ich einen Würfel gegeben habe mit der Kantenlänge
1 und dieser Würfel wird von einer Ebene E durch den
Mittelpunkt senkrecht zur Raumdiagonalen geschnitten. Und ich
suche jetzt den Winkel zwischen der Ebene E und einer
Würfelfläche, sowie die Fläche des entstehenden Sechsecks, wie
muss ich hier vorgehen?
leg den würfel mit einer ecke in den ursprung des koordinatensystems und mit den kanten auf die positiven achsen.
dann ist die raumdiagonale die gerade durch (0,0,0) und (1,1,1). die koordinaten der eckpunkte sind dann alle 8 kombinationen aus 1en und 0en. kannst sie mal aufzählen.
der vektor (1,1,1) ist als richtungsvektor der raumdiagonale ein normalvektor der ebene E.
der mittelpunkt des würfels liegt auf (1/2, 1/2, 1/2). damit kannst du die gleichung der ebene aufstellen:
x + y + z = 3/2
die normalvektoren der seitenflächen sind vektoren der form (1,0,0) usw.
die winkel zwischen den normalvektoren der seitenflächen und der ebene E sind die winkel zwischen den ebenen selbst. für die winkel benötigst du das skalarprodukt.
mit der ebenengleichung oben kannst du die schnittpunkte dieser ebene mit den diversen seitenkanten des würfels (gedacht als geraden) berechnen.
mit den schnittpunkten sind die seitenkanten des schnittsechsecks errechenbar und damit die fläche des sechsecks.
alles zusammen ein bisserl aufwändig.
hth
m.
Hallo Michael, erstmal danke für deinen Tipp, wie kommst du jedoch auf den Abstand d= 3/2??? bei er Aufstellung der Ebene mit der HNF??
Und wie ich zu der Seckseckfläche komme weiss ich immer noch nicht richtig! mit welchen Punkten bzw. Geraden muss ich denn die Schnittpunkte errechnen und wie komme ich mit diesen Schnittpunkten dann zu einer Seckseckfläche?
Bitte nochmal`s um Hilfe
MOD: TOFU-Zitat gelöscht.
hi,
Hallo Michael, erstmal danke für deinen Tipp, wie kommst du
jedoch auf den Abstand d= 3/2??? bei er Aufstellung der Ebene
mit der HNF??
in der normalform (ich hab sie nicht hesse'sch hingeschrieben; da müsste man noch durch die länge des normalvektors dividieren)
ax + by + cz = d
ist d nicht (notwendig) der abstand.
du bekommst die normalvektorform einer ebene, in dem du einen normalvektor N nimmst und einen punkt P der ebene (in diesem fall den mittelpunkt des würfels) und bildest:
N . X = N . P
N . X ist hier: (1,1,1) . (x,y,z) = x + y + z
N . P ist hier: (1,1,1) . (1/2, 1/2, 1/2) = 3/2
Und wie ich zu der Seckseckfläche komme weiss ich immer noch
nicht richtig! mit welchen Punkten bzw. Geraden muss ich denn
die Schnittpunkte errechnen und wie komme ich mit diesen
Schnittpunkten dann zu einer Seckseckfläche?
Bitte nochmal`s um Hilfe
du brauchst die trägergeraden der 12 würfelkanten. nur 6 von ihnen haben einen schnittpunkt mit der durch den mittelpunkt gelegten ebene innerhalb des würfels. du kannst es ausprobieren:
wenn du z.b. die würfelkante nimmst, die vom punkt A = (0,0,0) des würfels exakt nach oben führt (richtungsvektor (0,0,1)), dann hast du die geradengleichung (parameterform)
X = (0,0,0) + s.(0,0,1) = (0,0,s)
wenn du das mit der ebenengleichung schneidest (= dort einsetzest), bekommst du
1.0 + 1.0 + 1.s = 3/2, also s = 3/2, damit bist du außerhalb des würfels. hier gibts keinen sechseckeckpunkt.
nimmst du die kante vom punkt (1,0,0) nach oben, bekommst du die geradengleichung
X = (1,0,0) + s.(0,0,1) = (1,0,s)
einsetzen liefert:
1 + 0 + s = 3/2
s = 1/2
und dieses s liefert dir als einen schnittpunkt und damit als einen eckpunkt des sechsecks den punkt (1,0,1/2).
usw.
ich hab zu wenig zeit, hier alle 6 eckpunkte auszurechnen.
hth
m.
hi,
Hallo, wenn ich einen Würfel gegeben habe mit der Kantenlänge
1 und dieser Würfel wird von einer Ebene E durch den
Mittelpunkt senkrecht zur Raumdiagonalen geschnitten. Und ich
suche jetzt den Winkel zwischen der Ebene E und einer
Würfelfläche, sowie die Fläche des entstehenden Sechsecks, wie
muss ich hier vorgehen?
leg den würfel mit einer ecke in den ursprung des
koordinatensystems und mit den kanten auf die positiven
achsen.
dann ist die raumdiagonale die gerade durch (0,0,0) und
(1,1,1). die koordinaten der eckpunkte sind dann alle 8
kombinationen aus 1en und 0en. kannst sie mal aufzählen.
der vektor (1,1,1) ist als richtungsvektor der raumdiagonale
ein normalvektor der ebene E.
der mittelpunkt des würfels liegt auf (1/2, 1/2, 1/2). damit
kannst du die gleichung der ebene aufstellen:
x + y + z = 3/2
die normalvektoren der seitenflächen sind vektoren der form
(1,0,0) usw.
die winkel zwischen den normalvektoren der seitenflächen und
der ebene E sind die winkel zwischen den ebenen selbst. für
die winkel benötigst du das skalarprodukt.
mit der ebenengleichung oben kannst du die schnittpunkte
dieser ebene mit den diversen seitenkanten des würfels
(gedacht als geraden) berechnen.
mit den schnittpunkten sind die seitenkanten des
schnittsechsecks errechenbar und damit die fläche des
sechsecks.
alles zusammen ein bisserl aufwändig.
hth
m.
Hallo Michael, also ich hab jetzt die sechs Schnittpunkte Sp1: (1,0,1/2) Sp2:(0,1,1/2) Sp3:(1/2,0,1) Sp4:(0,1/2,1) Sp5:(1,1/2,0) Sp6:(1/2,1,) wie komme ich jetzt zur Fläche des Sechsecks?
Und wie kann ich den Abstand der Ebene zum Punkt P berechnen der auf einer Ecke liegt?
Danke für deine Hilfe
MOD: TOFU-Zitat gelöscht.