Grenzwertberechnung von unendlichen Reihen | Physik

Grenzwertberechnung von unendlichen Reihen

Von: , Frage gestellt am Fr, 28. Dez 2007

Hallo,

ich habe mehrere Aufgaben zur Konvergenzuntersuchung bekommen und bin beim erledigen der Aufgaben auf 4 Fragen/Probleme gestoßen, bei denen ich nicht weiter kam:

1. nach dem zusammenfassen blieb der folgende Term übrig:
n-te Wurzel aus 2^(-1)^n
wenn ich davon den Grenzwert bestimme, komme ich auf 1, weil für
alle geraden n der Grenzwert der n-ten Wurzel aus 2 und für alle
ungeraden n aus 1/2 gesucht ist, ist das richtig? wie schreib ich
es auf? kann ich den Term noch weiter zusammenfassen, damit ich
keine Fallunterscheidung mehr brauche?
2. Wie berechne ich den Grenzwert für Terme die Fakultäten enthalten?
hatte Probleme bei lim [(2n+1)!]/[(3n)!]=??? (null wäre schön, denn
das Quotientenkriterium ist erfüllt und, wenn der Grenzwert null
ist, dann konvergiert die ganze Reihe...)
3. hab eine Sache mit dem Majorantenkriterium versucht, reicht es aus,
wenn ich zu meiner reihe bzw. der zugehörigen folge eine folge
finde die größer ist um zu sagen, dass meine reihe konvergiert,
auch wenn die Majorante den Grenzwert unendlich hat? dann weiß ich
ja eigentlich, dass meine reihe einen Grenzwert kleiner als
unendlich hat, oder?
4. Wie macht man das alles für komplexe Reihen?
ich soll folgende reihe auf konvergenz untersuchen:
[(7k+i)/(2+10k)]^k Dachte an das Quotientenkriterium, aber wie
mach ich das mit der Nullfolge?

Vielen Dank für eure Antworten!

14 Antworten zu dieser Frage

Antwort von nach einer Stunde 0 hilfreich

Re: Grenzwertberechnung von unendlichen Reihen

hi anne,
1. nach dem zusammenfassen blieb der folgende Term übrig:
n-te Wurzel aus 2^(-1)^n
wenn ich davon den Grenzwert bestimme, komme ich auf 1,
weil für
alle geraden n der Grenzwert der n-ten Wurzel aus 2 und für
alle
ungeraden n aus 1/2 gesucht ist, ist das richtig? wie
schreib ich
es auf? kann ich den Term noch weiter zusammenfassen, damit
ich
keine Fallunterscheidung mehr brauche?
n-te Wurzel aus 2^(-1)^n = (2^(-1)^n)^(1/n) = 2^((-1)^n)/n)

dieser exponent geht gegen 0, der term selbst gegen 1. 2. Wie berechne ich den Grenzwert für Terme die Fakultäten
enthalten?
hatte Probleme bei lim [(2n+1)!]/[(3n)!]=??? (null wäre
schön, denn
das Quotientenkriterium ist erfüllt und, wenn der Grenzwert
null
ist, dann konvergiert die ganze Reihe...)
kürzen!
(2n+1)!/(3n)! = 1 / (3n * (3n-1) * (3n-2) * ...* (2n+2)) für alle n>2

da geht der nenner jedenfalls gegen oo, der term selbst gegen 0. 3. hab eine Sache mit dem Majorantenkriterium versucht, reicht
es aus,
wenn ich zu meiner reihe bzw. der zugehörigen folge eine
folge
finde die größer ist um zu sagen, dass meine reihe
konvergiert,
auch wenn die Majorante den Grenzwert unendlich hat? dann
weiß ich
ja eigentlich, dass meine reihe einen Grenzwert kleiner als
unendlich hat, oder?
nein, sicher nicht.
schau dir das majorantenkriterium (seine aussage) noch mal genauer an (z.b. http://de.wikipedia.org/wiki/Majorantenkriterium); wenn du eine konvergente majorante hast, erfährst du was über die konvergenz der reihe. eine divergente majorante sagt nichts aus.

"grenzwert = unendlich" ist eine umschreibung für "divergent"; allerdings nicht die einzige. es gibt auch endliche divergente folgen und reihen. 4. Wie macht man das alles für komplexe Reihen?
ich soll folgende reihe auf konvergenz untersuchen:
[(7k+i)/(2+10k)]^k Dachte an das Quotientenkriterium, aber
wie
mach ich das mit der Nullfolge?

sieht mir eher nach wurzelkriterium aus. der nenner wird linear, der zähler geht gegen 1. ansonsten ist das für komplexe zahlen ganz gleich wie für reelle; in der formel fürs wurzelkriterium steht eh der betrag.
aber da hab ich noch nix genaueres.

m.

Antwort von nach 2 Stunden 0 hilfreich

Re^2: Grenzwertberechnung von unendlichen Reihen

Stimmt, bei 4. ist Wurzelkriterium das richtige! Das bekomme ich hin. Wie mach ich das denn mit dem Grenzwert wegen dem hinreichenden Kriterium von wegen Nullfolge und so? Das ist das größere Problem. Eigentlich würde ich a la 3. Binomischer Formel erweitern, damit ich dann i² habe und schön einsetzen kann, nur hilft mir das hier nicht, denn dann bekomme ich ja das blöde i unter dem Bruchstrich. Mein eigentlichges Problem ist also, dass ich nicht weiß wie man mit diesem i eine Grenzwertbetrachtung macht.

1. und 2. ist mir jetzt klar, dafür schon mal vielen Dank!

Dann ist da noch 3. Ich habe jetzt nachgelesen und verstanden warum es nicht geht wie ich dachte, nur weiß ich jetzt leider nicht wie ich es machen kann. Die eigentlich Aufgabe, die mich zu der Frage führte war:
Reihe: Summe von n=1 bis unendlich über (-n+"Wurzel aus" n²+1), hab die Folge umgeformt zu 1/(["Wurzel aus"n²+1]+n), weil ich das für die notwendige Bedingung mit der Nullfolge brauchte. Bei so einem Term bleibt mir doch nichts mehr außer einem Vergleichskriterium? Welche Folge/Reihe kann ich den zum vergleichen nehmen? Wie komme ich da drauf? Unser Übungsleiter zaubert immer die passende aus dem Hut :-)

Vielen Dank!
- Antwort von nach 5 Stunden 0 hilfreich
  
  Re^3: Grenzwertberechnung von unendlichen Reihen
  
  hi, Stimmt, bei 4. ist Wurzelkriterium das richtige! Das bekomme
  ich hin. Wie mach ich das denn mit dem Grenzwert wegen dem
  hinreichenden Kriterium von wegen Nullfolge und so? Das ist
  das größere Problem. Eigentlich würde ich a la 3. Binomischer
  Formel erweitern, damit ich dann i² habe und schön einsetzen
  kann, nur hilft mir das hier nicht, denn dann bekomme ich ja
  das blöde i unter dem Bruchstrich. Mein eigentlichges Problem
  ist also, dass ich nicht weiß wie man mit diesem i eine
  Grenzwertbetrachtung macht.
  vergiss das i; es geht beim wurzelkriterium um beträge.
  1. und 2. ist mir jetzt klar, dafür schon mal vielen Dank!
  bütte bütte. Reihe: Summe von n=1 bis unendlich über (-n+"Wurzel aus"
  n²+1), hab die Folge umgeformt zu 1/(["Wurzel aus"n²+1]+n),
  weil ich das für die notwendige Bedingung mit der Nullfolge
  ich verstehe
  summe (n= 1 ... oo) (-n + Wurzel(n²+1)) =
  -1 + Wu(2) - 2 + Wu(5) - 3 + Wu(10) -+...
  
  ??? brauchte. Bei so einem Term bleibt mir doch nichts mehr außer
  einem Vergleichskriterium? Welche Folge/Reihe kann ich den zum
  vergleichen nehmen? Wie komme ich da drauf? Unser Übungsleiter
  zaubert immer die passende aus dem Hut :-)
  wenns das ist, muss ich mal nachdenken.
  euer übungsleiter ist halt eingearbeitet und beim stellen der aufgaben beteiligt. er sollte euch nicht nur fertige lösungen vorsetzen, sondern die ideen vermitteln, die man da braucht.
  
  m.
  - Antwort von nach 5 Stunden 0 hilfreich
    
    Re^4: Grenzwertberechnung von unendlichen Reihen
    
    hi, Reihe: Summe von n=1 bis unendlich über (-n+"Wurzel aus"
    n²+1), hab die Folge umgeformt zu 1/(["Wurzel aus"n²+1]+n),
    weil ich das für die notwendige Bedingung mit der Nullfolge
    ich verstehe
    summe (n= 1 ... oo) (-n + Wurzel(n²+1)) =
    -1 + Wu(2) - 2 + Wu(5) - 3 + Wu(10) -+...
    
    ??? brauchte. Bei so einem Term bleibt mir doch nichts mehr außer
    einem Vergleichskriterium? Welche Folge/Reihe kann ich den zum
    vergleichen nehmen? Wie komme ich da drauf? Unser Übungsleiter
    zaubert immer die passende aus dem Hut :-)
    wenns das ist, muss ich mal nachdenken.
    euer übungsleiter ist halt eingearbeitet und beim stellen der
    aufgaben beteiligt. er sollte euch nicht nur fertige lösungen
    vorsetzen, sondern die ideen vermitteln, die man da braucht.
    
    vielleicht hilft folgendes:
    -n + Wu(n² + 1) = 1 / (n + Wu(n² + 1))
    (deine idee mit der 3. binomischen formel: (a-b)(a+b) = a²-b²)
    und dann kannst du das mit der harmonischen reihe vergleichen, die nicht konvergiert.
    m.
    - Antwort von nach 23 Stunden 0 hilfreich
      
      Re^5: Grenzwertberechnung von unendlichen Reihen
      
      Hallo,
      
      diese Umformung habe ich ja schon gemacht (mit der 3. Binomischen Formel) und dann den Vergleich mit der harmonischen Reihe und daraus ergab sich ja genau meine Frage, weil die harmonische Reihe divergent ist, also den Grenzwert unendlich hat und meine Reihe aber kleiner ist, ob ich dann schlussfolgern kann, dass meine Reihe einen Grenzwert kleiner unendlich hat. Diese Schlussfolgerung ist ja nun leider falsch und deswegen hat die harmonische Reihe auch nicht geholfen. Was mach ich den nun?
      
      LG Anne
    - Antwort von nach 23 Stunden 0 hilfreich
      
      Re^5: Grenzwertberechnung von unendlichen Reihen
      
      Mir ist gerade noch was aufgefallen, was eher ungünstig ist. Bei der Sache mit dem i, die Reihe war [(7k+i)/(2+10k)]^k. Hab jetzt das Wurzelkriterium benutzt und komme auf einen Grenzwert von 10/7, also größer 1 und damit eine divergente Reihe, aber ich soll je gerade zeigen, dass sie konvergent ist... ?!?
      - Antwort von nach 23 Stunden 0 hilfreich
        
        Re^6: Grenzwertberechnung von unendlichen Reihen
        
        ja. der vergleich mit der harmonischen reihe (die du als divergente minorante betrachten kannst ... im sinne der umkehrung des majorantenkriteriums) zeigt die divergenz dieses dings!
        
        m. [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
      - Antwort von nach einem Tag 0 hilfreich
        
        Re^7: Grenzwertberechnung von unendlichen Reihen
        
        Ja, aber die Aufgabenstellung ist die KONVERGENZ zu zeigen, d.h. sie ist konvergent und alles andere ist irgendwie falsch! Aber was ist daran falsch? (Hab das Wurzelkriterium benutzt)
      - Antwort von nach einem Tag 0 hilfreich
        
        Re^8: Grenzwertberechnung von unendlichen Reihen
        
        hi,
        tja, da haben wir einen wirbel ... Ja, aber die Aufgabenstellung ist die KONVERGENZ zu zeigen,
        d.h. sie ist konvergent und alles andere ist irgendwie falsch!
        Aber was ist daran falsch? (Hab das Wurzelkriterium benutzt)
        deine aufgabe 3 ... da gings darum, das ding mit der wurzel auf konvergenz zu untersuchen. und da gibts eine divergente minorante, also ist bewiesen, dass die reihe selbst divergiert. darauf hab ich mich mit Re^4 bezogen.
        
        Re^6 bezog sich immer noch auf aufgabe 3 ... du hattest da aber wieder aufgabe 4 gemeint. tut mir leid: da hab ich nicht genau genug gelesen.
        
        bei deiner aufgabe 4 (das ist die mit dem i) gehts mit dem wurzelkriterium um die beträge. nach genauer durchsicht muss ich sagen, dass ich in meiner ersten antwort was falsches geschrieben habe, denn ich habe das ^k nur auf den nenner, nicht auf den ganzen bruch bezogen.
        wenn mans auf den ganzen bruch bezieht, wird die aufgabe aber leichter. nach wurzelkriterium muss
        | ak | ^(1/k) <= C für ein C<1 und fast alle indizes k
        sein.
        
        es geht also nur um den bruch
        | (7k+i)/(2+10k) |
        und um seine abschätzung.
        
        im prinzip kannst du den bruch durch die höchste vorkommende potenz von k kürzen und bekommst dann
        | (7 + i/k) / (2/k + 10) |
        und das geht gegen 7/10, denn i/k und 2/k gehen gegen 0.
        
        wie kommst du auf 10/7 ?
        
        hth
        m.

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