Geschwindigkeit Beschleunigung Einheit Heißluftballon Fallschirmspringer Maximalgeschwindigkeit Geschwindigkeit v

Fallschirmspringer

Von: , Frage gestellt am Sa, 25. Nov 2000

Ich habe folgendes Problem, vielleicht kann mir jemand helfen:

Ein Fallschirmspringer springt aus einem Heißluftballon ab, der in
der Höhe x=h schwebt. Er erfährt dabei die Kraft:

F= -m*g + b*v^2

Nun meine Fragen:

Wie kann ich eine Bewegungsgeleichung aufstellen (in abhängigkeit von
t=Zeit) um festzustellen an welcher stelle sich der
Fallschirmspringer relativ zum Boden gerade befindet?

Welche Geschwindigkeit hat der Fallschirmspringer nach t Sekunden?
Also irgendeine Funktion v(t)?
Ich glaube es gibt eine Maximalgeschwindigkeit, nämlich dann wenn der
Luftwiderstand gleich groß der Erdanziehung.

Ich würde mich über Antworten von euch freuen!

Tschüss und schönes Wochenende die "trueffelsau"

10 Antworten zu dieser Frage

1. Antwort von nach 7 Stunden hilfreich

   Dir kann geholfen werden

   Die Sache ist relativ einfach, aber viel Rechnerei:
   
   2 Kräfte wirken auf den Springer: Die von der Gravitation hervorgerufene in Richtung auf die Erde zu und die vom Luftwiderstand hervorgerufene (wirkt entgegengesetzt). Die Resultierende (effektiv auf den Springer wirkende) ist die Differenz der Beiden: F = F(fall) - F(luft)
   F(fall) = m * g
   F(luft) = c(w)/2 * rho * A * v^2 (c(w), Dichte der Luft (rho) und effektive Querschnittsfläche des Springers (A) sind in Deiner Frage zur Konstanten b zusammengefaßt).
   
   kleiner Sprung zu den gewünschten Formeln:
   
   s(t)= 1/2 * a * t^2 (s: Strecke, a: Beschleunigung, t: Zeit)
   
   a ist nun wieder eine Funktion von v:
   
   a= (F(fall)-F(luft))/m -> F(fall) ist ja konstant und F(luft) Fkt. von v (s.o.):
   
   a = (m*g-b*v^2)/m
   
   Zuerst einsetzen in s(t)
   Die fehlende Geschwindigkeit bekommst Du:
   a = ... eingesetzt in v = a * t erhälst Du eine quadratische Gleichung, die Du mit p,q-Formel lösen kannst (habe ich nicht parat).
   
   Nun müßten alle Unbekannten eleminiert sein.
   
   Für Deine gewünschte Gleichung mußt dann noch auf das Bezugssystem aufpassen.
   Deine Vermutung bez. v(max) ist richtig:
   a = F(fall) - F(luft)/m (s.o.)
   wenn die Kräfte gleich werden wird a=0!
   
   Ich hoffe, ich konnte helfen
   
   Gruß Stefan
   

   • Antwort von nach 11 Stunden hilfreich

     Re: Dir kann geholfen werden

     Die Sache ist relativ einfach,
     Ja, aber nicht ganz so einfach, wie Du sie Dir machst. s(t)= 1/2 * a * t^2 (s: Strecke, a: Beschleunigung, t: Zeit)
     Sorry, aber diese s(t)-Gleichung hat doch in der Lösung dieser Aufgabe nichts zu suchen?!?! Ein ebenso dickes "f" daneben würdest Du Dir in einer Klausur zu Recht mit a = ... eingesetzt in v = a * t
     verdienen. Ich hoffe, Du weißt, wieso.
     
     Mit freundlichem Gruß
     Martin
     

2. Antwort von nach 8 Stunden hilfreich

   Re: Fallschirmspringer

   Man kann es nat"urlich noch komplizierter machen:
   
   W"ahrend der Fallschirmspringer f"allt, dreht sich die Erde unter ihm weg, er landet also etwas weiter westlicher. Ich hab das schon mal gerechnet, hab aber leider im Moment nix zur Hand wo es drin steht. Wenn es dich wirklich interessiert, kann ich mal das Suchen anfangen, da ich dazu aber in die B"ucherei m"usste ist es ein wenig aufwendiger.
   

   • Antwort von nach 18 Stunden hilfreich

     Re^2: Fallschirmspringer

     Moin Michaela,
     ich glaube, Dir ist da ein kleiner Fehler unterlaufen. Die Erde bewegt sich grundsätzlich NICHT unter dem Fallschirmspringer (oder Flugzeug/Dachziegel etc.) weg, da er sich in einem Medium befindet (Luft), was sich aufgrund der Corioliskraft mit der Erde mitbewegt - es seie denn, die Luftmasse wird bewegt (aufgrund von durch Druckgefällen zwischen Hochs und Tiefs entstehenden Winden).
     
     Gruß
     Jan [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
     

3. Antwort von nach einem Tag hilfreich

   Re: Fallschirmspringer

   Ich habe folgendes Problem, vielleicht kann mir jemand helfen:
   
   Ein Fallschirmspringer springt aus einem Heißluftballon ab,
   der in
   der Höhe x=h schwebt. Er erfährt dabei die Kraft:
   
   F= -m*g + b*v^2
   In dieser Gleichung ist die Kraft stets negativ, da sie nach unten gerichtet ist.. für die Rechnung ist es aber besser, wenn man nur den Betrag der Kraft angibt, die die Beschleunigung hervorruft...
   F'=-F=mg - bv^2
   
   Für die Beschleunigung gilt dann wegen a=F'/m
   
   a=g - bv^2/m (1)
   
   die Endgeschwindigketi ergibt sich, wenn die Beschleunigung Null wird:
   0=g - bv^2/m => ve =sqrt(gm/b)
   
   Geschwindigkeits-Zeitfunktion
   =============================
   
   da a= dv/dt ist, kann man (1) auch schreiben als
   
   dv/dt = g - bv^2/m
   
   daraus folgt:
   
   dv/(g-bv^2/m) = dv /(1-bv^2/gm) = dv/(1-(v/ve)^2) = dt
   
   Integriergen von 0 bis v auf der linken und von 0 bis t auf der Rechten Seite ergibt wegen
   Int dx/(1-x^2)=0,5*ln(x+1/x-1)
   
   ve/2g * ln[(ve+v)/(ve-v)] = t
   
   nach v aufgelöst ergibt:
   
   v = ve (p-1/p+1) mit der Abkürzung p=exp(2g/ve *t)
   
   und wenn du jetzt noch diese Gleichung integrierst, kommst du auf das Weg-Zeit-Gesetz! Viel Spaß! ;-)
   
   Oliver
   

   • Antwort von nach 2 Tagen hilfreich

     Re^2: Fallschirmspringer

     v = ve (p-1/p+1) mit der Abkürzung p=exp(2g/ve *t)
     Ich erhalte bei der Lösung der speziellen RICCATIschen Differentialgleichung
     
     dv/dt=v_∞²-v²   (mit v_∞=√(g·m/c_w))
     
     die Geschwindigkeit
     
     v(t)=v_∞·[(v_∞+v_o)·exp(2v_∞t)-v_∞+v_o]/[(v_∞+v_o)·exp(2v_∞t)+v_∞-v_o]
     
     Bei einer Anfangsgeschwindigkeit v_o=0 sieht das Deiner Lösung sehr ähnlich. Die Integration ergibt dann die Höhe
     
     h(t)=h_o-v_∞·t+ln(|(v_∞+v_o)·exp(2v_∞t)+v_∞-v_o]|)
     

     • Antwort von nach 2 Tagen hilfreich

       Re^3: Fallschirmspringer

       v(t)=v_∞·[(v_∞+v_o)·exp(2v_∞t)-v_∞+v_o]/[(v_∞+v_o)·exp(2v_∞t)+v_∞-v_o]
       
       Bei einer Anfangsgeschwindigkeit v_o=0 sieht das
       Deiner Lösung sehr ähnlich.
       Ja, das dürfte das selbe sein!!
       
       Die Integration ergibt dann die Höhe
       
       h(t)=h_o-v_∞·t+ln(|(v_∞+v_o)·exp(2v_∞t)+v_∞-v_o]|)
       Hast du da nicht was vergessen? In der ln-Funktion darf doch keine Einheit stehen....
       

       • Antwort von nach 2 Tagen hilfreich

         Re^4: Fallschirmspringer

         Hast du da nicht was vergessen? In der ln-Funktion darf doch
         keine Einheit stehen....
         Eigentlich nicht, aber ich bekomme die Einheit da nicht raus. Ich habe zwar im ersten Schritt eine Konstante vergessen, aber das war nicht die Ursache des Problems. Für die Geschwindigkeit erhalte ich jetzt
         

         [√(g·m/cw)+vo]·exp[2√(g·cw/m)·t]-√(g·m/cw)+vo
         v(t)=√(g·m/cw)·-----------------------------------------------
         [√(g·m/cw)+vo]·exp[2√(g·cw/m)·t]+√(g·m/cw)-vo
         

         
         und für die Höhe
         

         h(t)=ho-√(g·m/cw)·t+ln{|[√(g·m/cw)+vo]·exp[2√(g·cw/m)·t]+√(g·m/cw)-vo|}
         

         
         Damit stimmen jetzt zwar die Einheiten außerhalb des Ln, aber innen sieht es immer noch nicht besser aus. Da die Ableitung von h(t) wieder v(t) ergibt liegt kein Integrationsfehler vor. Möglicherweise muß man den Bruch in v(t) so erweitern, daß die Einheiten bereits vor der Integration wegfallen.
         

         • Antwort von nach 2 Tagen hilfreich

           Re^5: Fallschirmspringer

           Eigentlich nicht, aber ich bekomme die Einheit da nicht raus.
           Ich habe zwar im ersten Schritt eine Konstante vergessen, aber
           das war nicht die Ursache des Problems.
           Stimmt. Die Ursache des Problems ist, daß Du in "Re^2" mit dv/dt = v_infin^2 – v^2
           einsteigst. Da steckt schon der Wurm drin, denn links steht 'ne Beschleunigung und rechts ein Geschwindigkeitsquadrat.
           
           Du kannst allerdings auch sagen, daß es sich bei v und t um dimensionslose Variablen handelt, die vorher über die systemcharakteristische Geschwindigkeit v_infin und die System-Zeitkonstante v_infin/(2g) entdimensionalisiert wurden. Bei dieser Betrachtungswese hast Du im Ergebnis dann auch mit "egal was" als Logarithmusargument kein Dimensionsproblem, weil halt alles dimensionslos ist.
           
           Gruß
           Martin
           

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