Hallo, wer kann mir bei dem Beweis der folgenden Ungleichung einen Tip geben:
sin a1 * sin a2 *...*sin an + cos a1 * cos a2*...* cos an <= 1
mit ai aus R und n>=2 .
Bei einem Beweis mit vollständiger Induktion fehlt mir der Induktionsschluss
Wolfran
Hallo,
Dazu folgender Gedankenansatz:
sin a1 + Cos a1 = 1
Sin a2 + Cos a2 = 1
usw....
Wenn man nun über Ausklammerverfahren beweisen kann... jedenfalls gilt für alle Teilausdrücke der Ungleichung dass sie <=1 sind. Dazu gilt auch immer Sin a1 * (x) + Cos a1 * (y) <= 1 mit x und y <=1
Da müsste dann doch was draus zu machen sein...
Grüße Frank
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Hi Frank,
Dazu gilt auch immer Sin a1 * (x) + Cos a1 *
(y) <= 1 mit x und y <=1
Wieso die Einschränkung? sin(x)<=1 und cos(y)<=1 gilt doch für alle x,y aus R.
Gruß,
JPL
Hallo Frank,
müsste es nicht heißen (sin a1)^2 + (cos a1)^2 = 1 ?
Damit stehe ich immer noch an derselben Stelle.
Aber Danke
wolfran
hi,
als idee; noch nicht ganz ausgeführt ...
n = 2: cos(a-b) = sin a * sin b + cos a * cos b; also <= 1
das ist gleichzeitig die grundidee für den induktionsschritt.
n -> n+1:
sei:
sin a1 * sin a2 *...*sin an + cos a1 * cos a2*...* cos an <= 1
dann gibt es ein b sodass
sin a1 * sin a2 *...*sin an <= sin b
und
cos a1 * cos a2*...* cos an <= cos b
(du kannst das eine produkt als sinus auffassen und dazu das b berechnen; wenn die ungleichung dann auch für den cosinus passt: wunderbar. sonst umgekehrt.
also:
b = max(arcsin(sin a1 * sin a2 *...*sin an),arccos(cos a1 * cos a2*...* cos an))
oder so ...
sin a1 * sin a2 *...*sin a(n+1) + cos a1 * cos a2*...* cos a(n+1) <=
<= sin b * sin a(n+1) + cos b * cos a(n+1) =
= cos (b + a(n+1)) <= 1
hth
m.