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Re: Analyse von Funktionstermen
Hallo!
In der Oberstufenmathematik kommt man eigentlich an der
Differentialrechnung nicht vorbei. Diese ist zur Analyse von
Funktionen ("Kurvendiskussion") recht nützlich.
Ziel einer Kurvendiskussion ist es, vom Funktionsterm zu einer graphischen Darstellung zu kommen, allerdings ohne die einzelnen Funktionswerte zu berechnen. Man könnte nach folgendem Rezept vorgehen:
Beispielfunktion: f(x)=8sin(3x+5)-4)
1. Definitionsgebiet (DG)
In welchem Intervall ist die gegebene Funktion umkehrbar
eindeutig? Gibt es Stellen, an denen die Funktion nicht erklärt
ist?
Bsp: Wie schon erwähnt ist das DG einer normalen sin-Funktion
[0;2pi). Da hier die Funktion drei Perioden innerhalb 2pi
aus´führt und die Funktion noch verschoben ist, erhält man
hier: DG=[-5; 2pi/3-5) Teilmenge von R (reelle Zahlen).
2. Wertebereich (W)
Welche Funktionswerte nimmt die Funktion in DG an?
Bsp: W=[-8;8] in R.
3. Nullstellen.
Zu lösen ist die Gleichung f(x)=0.
Bsp: 0=8sin(3x+5)-4 <=>0=sin(3x+5)-1/2 <=>1/2=sin(3x+5)
<=> pi/6=3x+5 <=> pi/6-5=3x <=>x=pi/9-5/3.
Da f 2pi/3-periodisch ist, tritt die Nullstelle für
x=pi/9-5/3 + k*pi/3 , k in Z (ganz) auf.
3. Extrema: Hier kommt die Differentialrechnung ins Spiel.
Die Nullstellen der 1. Ableitung f'(x) liefern Extrema, wobei
ein Maximum vorliegt, falls die 2. Ableitung kleiner Null ist
oder ein Minimum, falls die 2. Ableitung größer Null ist (an
der betreffenden Stelle).
Bsp: Die 1. Ableitung ist: f'(x)=3*8cos(3x+5)
Die 2. Ableitung: f''(x)=-3*24sin(3x+5)
f'(x)=0 <=> 0=cos(3x+5)<=> pi/2=3x+5 <=> pi/6-5/3=x_1.
3pi/2=3x+5 <=> pi/2-5/3=x_2.
Einsetzen in die 2. Ableitung liefert:
f''(x_1)>0 ==> (x_1,f(x_1)) ist ein Minimum
f''(x_2)<0 ==> (x_2,f(x_2)) ist ein Maximum
Auch hier muss die Periodizität beachtet werden, wenn
das DG nicht genug eingeschränkt worden ist.
4. Wendepunkte
sind Nullstellen der 2. Ableitung, sofern die dritte Ableitung
an dieser Stelle ungleich Null ist. Allgemein kannst Du Dir
merken, dass zwischen Maximum und Minimum ein Wendepunkt sein
muss, sofern die Funktion stetig (in einem Zug zeichenbar)
ist.
Bsp: f''(x)=0 <=>0=sin(3x+5) <=>0=3x+5 <=>x_1=-5/3
pi=3x+5 <=> x_2=pi/3-5/3
Die 3. Ableitung f'''(x)=-216cos(3x+5) ist hier ungleich
Null. Zu beachten ist erneut die Periodizität.
5. Zum schluss muesste man noch das Verhalten im Unendlichen und
an eventuellen Definitionslücken betrachten. Das ist aber fuer
den Sinus nicht so sinnvoll ;)
6. So, jetzt die Ergebnisse in einem Koordinatensystem verewigen
und verbinden. Und schon hat man ein Bild von der vorliegenden
Funktion.
Ich weiss nun zwar nicht, in wie weit Du schon mit der Differentialrechnung vertraut bist, aber Du wirst kaum daran vorbei kommen.
Viel Spass!
Sascha
PS: Ich hoffe, ich hab mich nicht verrechnet oder vertippt...
