Liebe Mathematiker
Ich habe hier eine nicht ganz alltägliche Herleitung der wohl bekannten Potenzreihe der Exponential-Funktion:
http://www.lapeth.ethz.ch/~mzillig/varia/exp.gif
Meine Frage: ist diese Herleitung erlaubt oder nicht? Warum/ warum nicht? Insbesondere interessiert mich das Argument für das zweite Gleichheitsszeichen in der dritten Formel.
Gruss
Matthias
Lieber Matthias!
Liebe Mathematiker
Ich habe hier eine nicht ganz alltägliche Herleitung der wohl
bekannten Potenzreihe der Exponential-Funktion:
http://www.lapeth.ethz.ch/~mzillig/varia/exp.gif
Meine Frage: ist diese Herleitung erlaubt oder nicht?
Nein. Schon die *erste Zeile* ist falsch.
1) Das Integral-Symbol ist nur in Verbindung mit einem Differential (dx) definiert, also etwa:
Integral( exp(x) )dx.
2) Selbst wenn man ein dx hinzufügen würde, wäre die Formel falsch. Bei einem unbestimmten Integral müßte auf der rechten Seite eine Integrationskonstante auftauchen.
Korrekt wäre die erste Zeile so:
Integral ( exp(t) ) dt in den Genzen -inf bis x == exp(x)
Man kann aber nicht alle in der Herleitung auftauchenden Integralsymbole als bestimmte Integrale von -inf bis x uminterpretieren, da funktionieren die anderen Sachen nicht:
Integral( 0 ) dt von -inf bis x ist nicht gleich 1.
Warum/
warum nicht? Insbesondere interessiert mich das Argument für
das zweite Gleichheitsszeichen in der dritten Formel.
Das ist auch nicht "fälscher" als der Rest.
Gruss
Matthias
Fazit: Wenn's dem Autor als *Eselsbrücke* hilft, ist es eine gute und lustige Sache, ein mathematisch sauberer Beweis ist es auf keinen Fall.
Schöne Festtage,
Frank.
Man muß den Integraloperator "I" folgendermaßen definieren:
I(0)=1
I(x^n)=(x^(n+1))/(n+1).
I ist dann der inverse Operator zum Differentialoperator, und es gilt I(e^x)=e^x.
In Zeile 3 wird einfach die Summenformel für die geometrische Reihe verwendet:
1/(1-x)=1+x+x^2...., gültig für |x|<1.
Die Herleitung ist korrekt und seit dem 18. Jhd. bekannt.
Gruß.
Cicero
Man muß den Integraloperator "I" folgendermaßen definieren:
I(0)=1
I(x^n)=(x^(n+1))/(n+1).
I ist dann der inverse Operator zum Differentialoperator, und
es gilt I(e^x)=e^x.
Daß das gilt, muß man aber erst mal beweisen!
Und daß man das ohne die Verwendung der Potenzreihenentwicklung so einfach hinbekommt, sehe ich nicht.
Zumindest: es ist wahrscheinlich nicht einfacher als der orthodoxe Zugang, oder?
Im übrigen bezog sich doch die urspüngliche Frage auf die Exaktheit der dort verwendeten Symbolik. Und die ist doch nicht so toll...
Viele Grüße,
Frank.
es gilt I(e^x)=e^x.
Daß das gilt, muß man aber erst mal beweisen!
Der Einwand ist berechtigt.
Man erhält nur e^x = Potenzreihe + Konstante. Wegen e^0=1 ist die Konstante aber 0. Und hieraus folgt dann I(e^x)=e^x.
Alle Beziehungen gelten natürlich nur, wenn die Reihen konvergieren, was hier allerdings der Fall ist.
Die Potenzreihe selbst ergibt sich sehr einfach durch wiederholte Anwendung von "I", z.B.:
I^3(1)=I^2(I(1))=I^2(x)=I(I(x))=I((x^2)/2)=(x^3)/6.
Aber ich glaube, sonst sind wir uns einig.
Gruß.
Cicero
Alle Beziehungen gelten natürlich nur, wenn die Reihen
konvergieren, was hier allerdings der Fall ist.
Wie siehst Du so einfach, dass man 1/(1-I) als geom. Reihe entwickeln darf? Dazu muss doch ¦I(f)¦<1 sein. Bezüglich welcher Norm (in welchem Funktionenraum?) gilt dies? Der Fkt.raum muss doch zumindest exp enthalten, aber I(exp)=exp, und die Norm ist deswegen doch höchstens kleiner gleich 1...
Gruss Matthias
Ich behaupte nicht
1/(1-I) = 1 + I + I^2 +... ,
sondern
(1/(1-I))(0) = 1 + I(0) + I^2(0) +... . (*)
Dazu ist zu zeigen:
(1-I)( 1 + I(0) + I^2(0) +...) = 1.
Man betrachte das Produkt
(1-I)( 1 + I(0) + I^2(0) +... +I^n(0)) = 1 - I^(n+1)(0) .
Der letzte Term geht gleichmäßig gegen 0 in jedem endlichen Intervall, d.h., es gilt (*), falls die Reihe absolut konvergiert, was hier zutrifft.
Gruß.
Cicero
Ich muß mich präziser ausdrücken. "1" ist mißverständlich.
"E" bedeute Einheitsoperator.
Behauptung:
(1/(E-I))(0) = E(0) + I(0) + I^2(0) +... . (*)
(anstelle von "0" kann jedes Polynom eingesetzt werden).
Dazu ist zu zeigen:
(E-I)( E(0) + I(0) + I^2(0) +...) = E(0).
Man betrachte das Produkt
(E-I)( E(0) + I(0) + I^2(0) +... +I^n(0)) = E(0) - I^(n+1)(0) .
Der letzte Term geht gleichmäßig gegen 0 in jedem endlichen Intervall, d.h., es gilt (*), falls die Reihe absolut konvergiert, was hier zutrifft.
Der Operator I muß doch als bestimmtes Integral definiert werden (das wollte ich vermeiden, läßt sich aber nicht widerspruchsfrei durchführen).
I(f(x))=Int_0^x (f(t)dt.
Dann gilt I(x^n)=(x^(n+1))/(n+1) , I(0)=0, I(e^x)=e^x - 1.
Es gilt dann
(E-I)e^x=1 (nicht gleich Null, wie im vorgelegten Fall, E = Einheitsoperator), bzw.
e^x = (1/(E-I))(1) = (E+I+I^2+..)(1) = 1+x+(x^2)/2+...
Die Reihe E+I+I^2+... bedeutet keinen Operator; dieser Ausdruck darf nur auf Polynome angewandt werden, die Reihe konvergiert dann für jedes x im gewöhnlichen Sinn.
Analoge Beziehungen gelten für den Differentialoperator. Das Rechnen mit diesen Operatoren kann man nachlesen z.B. in
Siegel: Transzendente Zahlen.
Gruß.
Cicero
