Hallo!
Ich versuche gerade die Bogenlänge der Zykloide zu berechnen und scheitere daran, daß ich nicht draufkomme warum
sin^2(t/2)=1/2(1-cos t)
ist.
Kann mir das jemand erklären?
Jetzt schon einmal DANKE!
Mone.
Hallo,
neben dem Additionstheorem:
cos²(x)+sin²(x) = 1
gibt es auch noch die nuetzliche Eigenschaft:
cos²(x)-sin²(x) = cos(2x)
mit t/2 = x kannst du dass dann sehen.
CIAO
Oh, das macht das Ganze schon viel einfacher! Danke!
Wie kommt man auf diese Formel?
Mone.
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Hallo,
leider habe ich keine Zeit mehr, um das jetzt ausfuehrlicher zu erklaeren. Einige Sachen kann man sich geometrisch am Einheitskreis oder auch in der komplexen Zahlenebene erklaeren.
Auf die schnelle wuerde ich aber sagen, dass man bei:
cos²(x)-sin²(x) = cos(2x)
am besten ueber die Summendarstellund von cos uns sin geht:
sin(x) = SUM 1/(2n+1)!*x^(2n+1)
cos(x) = SUM 1/2n!*x^(2n)
n=0...unendlich
Summen zusammenfassen, Namensaenderung der Laufindizes, bischen mit den Fakultaeten rumspielen --> ergibt dann ne neue Summe, die sich als cos(2x) schreiben laesst.
Muss mich jetzt aber in den Zug setzten...
BYE
Danke! Damit komme ich schon weiter!
Gute Fahrt!
sin(x) = SUM 1/(2n+1)!*x^(2n+1)
cos(x) = SUM 1/2n!*x^(2n)
Oh, das macht das Ganze schon viel einfacher! Danke!
Wie kommt man auf diese Formel?
Mone.
Das sind stinknormale Additionstheoreme. Es gilt eben
cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y), jetzt setze y:=x,...
Ciao Lutz
PS: Zum Angeben: Benutze exp(2ix)=exp(ix)^2
Hallo,
selbstverstaendlich hast Du vollkommen recht.
Mit den Euler-Darstellungen:
cos(x) + i sin(x) = exp(ix)
cos(x) = 1/2 [exp(ix) + exp(-ix)]
sin(x) = 1/2i [exp(ix) - exp(-ix)]
kann man all die schoenen Dinge wie:
cos²(x) + sin²(x) = 1
cos²(x) - sin²(x) = cos(2x)
2sin(x)cos(x) = sin(2x)
beweisen. Oder auch, wenn man noch viele andere Theoreme als gegeben hinnimmt und gegenseitig verwendet.
Aber wenn man ohne zu Hilfenahme anderer Theoreme Neue beweisen moechte, dann kommt man oft nicht ohne die Summendarstellung aus.
CIAO
Aber wenn man ohne zu Hilfenahme anderer Theoreme Neue
beweisen moechte, dann kommt man oft nicht ohne die
Summendarstellung aus.
CIAO
Nat"urlich geht das. Man kann die Additionstheoreme geometrisch am Einheitskreis beweisen (und jeder mit Abitur sollte das mal gesehen haben). Das einzige Problem ist dann zu zeigen, dass Sinus und Cosinus am Einheitskreis definiert mit der Reihendefinition "ubereinstimmen.
Ciao Lutz
OK,
hast eigentlich Recht. 1:0 fuer Dich!
BYE