Folgt aus Steigkeit differenzierbar?

Von: (abgemeldet) , Frage gestellt am Fr, 5. Jan 2001

Soweit ich das mitbekommen habe folgt nur aus Differenzierbarkeit die Stetigkeit, aber nicht die Umkehrung, da es Funktionen gibt, die stetig sind, aber nirgends differenzierbar sind.
Kann mir jemand ein Beispiel für eine solche Funktion geben? Ich kann mir das nicht so richtig vorstellen...

Danke, Mone.

12 Antworten zu dieser Frage

Antwort von (abgemeldet) nach 52 Minuten 0 hilfreich

Re: Folgt aus Steigkeit differenzierbar?

HAllo,

wie wärs denn mit

f(x)=|x|

die ist überall stetig aber bei x=0 nicht differenzierbar.

Gruß Oliver

Antwort von (abgemeldet) nach einer Stunde 0 hilfreich

Re^2: Folgt aus Steigkeit differenzierbar?

die ist überall stetig aber bei x=0 nicht differenzierbar.
An diese Funktion habe ich auch schon gedacht, doch dort steht ja "nirgends differenzierbar". Die Betragsfunktion kann ich ja z.B. auf [-5,-2] differenzieren. Oder soll das "nirgends" heißen, daß die Funktion als ganzes nicht differenzierbar ist, doch auf einem Teilintervall schon?!

Mone.
- Antwort von (abgemeldet) nach 2 Stunden 0 hilfreich
  
  Re^3: Folgt aus Steigkeit differenzierbar?
  
  Oder soll das "nirgends"
  heißen, daß die Funktion als ganzes nicht differenzierbar ist,
  doch auf einem Teilintervall schon?!
  Die Funktion muß nicht "nirgends" differenzierbar sein, es reicht ja, daß es eine einzige Stelle gibt an der die Funktion nicht differneziebar ist, um zu zeigen, daß die Umkehrung des Satzes nicht zurifft.
  
  Oliver
  - Antwort von (abgemeldet) nach 2 Stunden 0 hilfreich
    
    Re^4: Folgt aus Steigkeit differenzierbar?
    
    Die Funktion muß nicht "nirgends" differenzierbar sein, es
    reicht ja, daß es eine einzige Stelle gibt an der die Funktion
    nicht differneziebar ist, um zu zeigen, daß die Umkehrung des
    Satzes nicht zurifft.
    Verstehe... Dankeschön!

Antwort von nach 4 Stunden 0 hilfreich

von Koch-Kurve

Ein Beispiel ist die sog. von Koch-Kurve. Sie wird wie folgt konstruiert:

E0 sei eine Strecke der Länge 1.

Die Menge E1 besteht aus den vier Teilstücken, die man erhält, wenn man das mittlere Drittel von E0 entfernt und es durch zwei Seiten des gleichseitigen Dreiecks ersetzt, dessen Grundlinie gerade durch das weggenommene Teilstück gebildet wird.

E2 wird gebildet, indem man dasselbe Verfahren auf jedes Teilstück von E1 anwendet, usw.

Man erhält eine Folge polygonaler Kurven, die gegen eine Grenzkurve konvergiert.

Diese Grenzkurve ist stetig und nirgends differenzierbar.

Gruß.

Cicero

Antwort von nach 5 Stunden 0 hilfreich

Re: von Koch-Kurve

Diese Grenzkurve ist stetig und nirgends differenzierbar.
und leider auch kein Graph, sondern eine 2D-Kurve (besser Pfad, da keine Bogenl"ange). Man kann das aber retten, indem man die Dreiecke "senkrecht" stellt. D.h. der neue Punkt kommt "uber der Intervallmitte zu liegen (bezogen auf die x-Koordinate)

Ciao Lutz
- Antwort von nach 5 Stunden 0 hilfreich
  
  Re^2: von Koch-Kurve
  
  Man kann das aber retten, indem
  man die Dreiecke "senkrecht" stellt. D.h. der neue Punkt kommt
  über der Intervallmitte zu liegen (bezogen auf die
  x-Koordinate)
  Kannst Du mir das genauer erläutern?
  Gruß.
  Cicero
  - Antwort von nach 6 Stunden 1 hilfreich
    
    Re^3: von Koch-Kurve
    
    Das Problem mit der Kochkurve ist, dass nach der 4 Iteration ein "Uberhang auftritt, wegen 4x60Grad. Das kann vermieden werden, indem die Dreiecke "senkrecht" aufgetragen werden. Einfach zur Streckenmitte (Strecke=Mitte der Seite) gehen, die entsprechende H"ohe senkrecht hoch und die neuen Seiten zu den Streckenenden zeichnen. Sieht krumm und schief aus, aber erf"ullt den Zweck.
    
    Ciao Lutz [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
    - Antwort von nach 8 Stunden 0 hilfreich
      
      Re^4: von Koch-Kurve
      
      Vielen Dank. Das leuchtet ein.
      
      Übrigens hat nicht nur die Kochkurve, sondern vermutlich
      auch das Beispiel von Weierstrass (siehe den Beitrag von Haeberlin) eine Hausdorffdimension größer als 1 (genau weiß man das aber nicht).
      
      Es bleibt also noch etwas zu tun!
      
      Gruß.
      
      Cicero

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