Hi,
wie kann ich folgendes mit Hilfe der Körperaxiome beweisen:
1.) a=b => a*c=b*c
2.) a=b => a+c=b+c
Im Otto Forster oder auch in anderen Büchern wird Die Addition oder auch Multiplikation auf beiden Seiten zum Beweisen verwendet ohne sie jedoch selbst vorher bewiesen zu haben. Muß man es beweisen oder folgt das direkt aus den Axiomen?
Vielen Dank
Julia
Hallo Julia,
das ist viel leichter als es aussieht.
Es ist tatsaechlich nichts zu beweisen:
Wenn Du a=b hast, heisst das, dass Du immer a durch b ersetzen kannst, es aendert sich dabei nichts. a und b sind gewissermassen nur verschiedene Namen fuer das gleiche Objekt. Ein Element kannst Du natuerlich mit dem jeweils gleichen anderen Element (durch + oder *) verknuepfen, ohne dass sich was aendert: a*c=a*c ist wahr.
Dann kannst Du Dir natuerlich einmal b statt a schreiben, und siehe, Du hast das gewuenschte Resultat.
Ich hoffe, das war jetzt verstaendlich; falls nicht, melde Dich einfach.
Viele Gruesse
Sherlock
Hi,
wie kann ich folgendes mit Hilfe der
Körperaxiome beweisen:
1.) a=b => a*c=b*c
2.) a=b => a+c=b+c
Im Otto Forster oder auch in anderen
Büchern wird Die Addition oder auch
Multiplikation auf beiden Seiten zum
Beweisen verwendet ohne sie jedoch selbst
vorher bewiesen zu haben. Muß man es
beweisen oder folgt das direkt aus den
Axiomen?
Das ist eine gute Frage, da ich auch das selbe Problem auf eine ähnliche Weise habe. Ich studier gerade E-Technik und wir beweisen da auch gerade lauter Sachen mit Voraussetzungen, die selbst aber nicht bewiesen sind. Das wär cool wenn da jemand eine vernünftige Erklärung hätte!!!
Vielen Dank
Julia
Hi,
oder ganz pingelig
a=b
a-b=0 (Umstellen)
(a-b)*c=0*c=0 (Axiom)
0=(a+(-b))*c=a*c+(-b)*c (Axiom)
a*c=-(-b)*c (Umstellen)
Setze a:=b, und Du erh"alst (-b)*c=-(b*c), Eingesetzt ergibt sich das gew"unschte Ergebnis.
MfG Lutz
Hallo, Lutz,
sehr ganz pingelig!
Hi,
oder ganz pingelig
a=b
Ja, gut.
a-b=0 (Umstellen)
Warumb? Man wendet hier die additive Inverse
auf beiden Seiten an. Das ist aber gerade das Problem ``a=b -> a*c=b*c'' in grün bzw. in + statt in *.
Im Prinzip geht es darum, ob man *substituieren* darf, d.h. aus einer wahren Aussage A(x) folgt mit x=y eine andere wahre Aussage A(y). Ebenso mit mehrstelligen Aussagen (d.h. aus B(x,z) folgt mit x=y die Aussage B(y,z)).
Wenn man das hat, ist es nicht schwierig:
Wegen Abgeschlossenheit der Algebra gibt es zu einem festen a für jedes c ein d, so daß die dreistellige Aussage B(a,c,d) \equiv a*c=d wahr ist.
Mit a=b substituiert man sich zur wahren Aussage B(b,c,d).
Man hat also: a*c=d und b*c=d. Durch Transitivität (und meinetwegen auch Reflexivität) gelangt man via d zu a*c=b*c.
Man muß drauf achtgeben, daß solche Aussagen ja auch ohne inverse Operationen bewiesen werden können sollten...wichtig ist aber, daß a*c überhaupt existiert, was in partiellen Algebren durchaus ein Problem darstellen könnte....
Mit axiomatischem Gruß
Stefan
Hi, wuerde es selbst so "versuchen":
Koerperaxiome:
(i) (M,+) abelsche Gruppe
(ii) (M-{0},*) abelsche Gruppe
(iii) a*(b+c)=a*b+a*c
fuer "+":
a=b => a+(-b)=0 => a*c+(-b)*c=0
(wobei (-a) das Inverse zu a)
d.h. (-b)*c=-(a*c)=-(b*c)
(wg. Eindeutigleit des inversen Elementes ;)
rechte Glg. oben => a*c=b*c
fuer "*":
(i) c=0 : klar
(ii) c!=0: analog oben
qed.
gruss
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