Candela, Steradiant, Lux

[X_Strom]

Hallo,
wie rechnet man bei gegebenem Öffnungswinkel in Grad und Lichtstärke in cd den Lichtstrom aus?

Gegeben:
Öffnungswinkel einer Lampe: 35°
Lichtstärke: 600cd

Ich muss ja irgendwie ausrechen, wieviel sr 35° entsprechen.

(Fehler ergeben sich natürlich, weil das Leuchtmittel ja keinen 100% scharf umrissenen 35° Lichtkegel hat, aber für Näherungen würde ich zunächst mal in der Rechnung davon ausgehen, dass man einen homogen ausgeleuchteten, scharf unmrissenen Kegel habe).

Bitte nicht nur die Lösung - der Weg ist das Ziel - Danke!

[Eckhart_Schilling]

Hallo xstrom, ein Sterad ist der Raumwinkel, der vom Mittelpunkt der Einheitskugel aus der Oberfläche die Fläche „eins“ ausschneidet. Dieser Winkel liegt bei etwa 60°.

Dazu musst Du die Formel für die Kugelhaube = 2*pi*r*h nehmen und gleich eins setzen und nach h auflösen. Dieses Ergebnis von eins abziehen, das ist der cos des gesuchten Winkels.

Um Deine Frage zu beantworten, gehst Du umgekehrt vor, nimm cos 35°, zieh das von eins ab, dann hast Du h, oben eingesetzt ergibt die Kugelfläche innerhalb von 35°. Die Gesammtfläche der Einheitskugel ist 4*pi, das ist 100%, die ausgerechnete Fläche ist ein Prozentsatz davon und ein prozentsatz von eins. Wenn ich nachher an meinen Taschenrechner komme, rechne ich das aus und schreibe es hin. Gruß, eck.

[X_Strom]

Dazu musst Du die Formel für die Kugelhaube = 2*pi*r*h nehmen
und gleich eins setzen und nach h auflösen. Dieses Ergebnis
von eins abziehen, das ist der cos des gesuchten Winkels.

Was ist „h“ in der Formel?
A_Kugel= 4 pi r² ist bekannt.
Also ist der Steradiant das Verhältnis der Fläche des beleuchteten Kugelabschnitts zum Quadrat des Radius?
Demnach hat eine Vollkugel, die z.B. durch eine freistrahlende Lampe bescheint wird, einen Steradiant von ca. 12,6?

Um Deine Frage zu beantworten, gehst Du umgekehrt vor, nimm
cos 35°, zieh das von eins ab, dann hast Du h, oben eingesetzt
ergibt die Kugelfläche innerhalb von 35°. Die Gesammtfläche
der Einheitskugel ist 4*pi, das ist 100%, die ausgerechnete
Fläche ist ein Prozentsatz davon und ein prozentsatz von eins.

So, während ich schrieb, habe ich mal wikipedia bemüht und als Stichwort dann die Kugelkalotte gefunden.
Somit komme ich für 35° in der Einheitskugel auf 1,14sr.
Wenn also 600cd 1,14sr beleuchten, dann habe ich 600/1,14 cd/sr = 526lm.
Und die zu Grunde liegende Wunder-LED mit ihrer hyper-fantastischen Effizienz hat dann ernüchternde 75lm/W, liegt also im Bereich normaler Leuchtstofflampen und wird nur dann interessant, wenn ich das Licht sowieso nur gebündelt in einer Richtung nutzen will.

[Martin]

Hallo,

Also ist der Steradiant das Verhältnis der Fläche des
beleuchteten Kugelabschnitts zum Quadrat des Radius?

genau, so ist der Raumwinkel definiert: Ω = A/R² mit A = der ausgeschnittene Kugeloberflächenteil.

Analog zum ebenen Winkel, der als die Länge b des ausgeschnittenen Bogenstücks geteilt durch den Radius R definiert ist: φ = b/R.

Demnach hat eine Vollkugel, die z.B. durch eine freistrahlende
Lampe bescheint wird, einen Steradiant von ca. 12,6?

Voller planarer Winkel = 2 π ≈ 6.28.
Voller Raumwinkel = 4 π ≈ 12.56.

So, während ich schrieb, habe ich mal wikipedia bemüht und als
Stichwort dann die Kugelkalotte gefunden.
Somit komme ich für 35° in der Einheitskugel auf 1,14sr.

Es gibt eine Formel zur Berechnung des zugehörigen Raumwinkels aus dem Öffnungswinkel eines Kegels. Nennt sich „kanonischer Raumwinkel“:

http://de.wikipedia.org/wiki/Raumwinkel#Kanonischer_…

Damit komme ich mit ω = 35° ≈ 0.61 rad auf Ω = 4 π sin²(ω/4) ≈ 0.29 sr. Als Lichtstrom Φ = I Ω erhalte ich 600 cd · 0.29 sr = 174 lm

Und die zu Grunde liegende Wunder-LED mit ihrer
hyper-fantastischen Effizienz hat dann ernüchternde 75lm/W,

Zitat aus dem Wikipedia-Artikel zu LEDs:

„Die effizientesten weißen LEDs erreichen derzeit (Stand Juni 2009) im optimalen Fall eine Lichtausbeute bis zu 160 Lumen/Watt. Das ist schon sehr viel, wenn man berücksichtigt, dass das theoretische Maximum (100 % Strahlungsleistung) bei 6600 K (relativ kalt wirkend) physikalisch nicht größer als ca. 350 lm/W sein kann.“

(Zitat Ende; Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/LED#Lichtausbeute)

Deine Wunder-LED ist also von den aktuell besten Vertretern ihrer Art leistungsmäßig ungefähr den Faktor 2 entfernt. Ob man das als gut oder schlecht bewerten mag, ist Ansichtssache

Gruß
Martin

[Eckhart_Schilling]

Hallo xstrom, ganz genau.

Was ist „h“ in der Formel?

Eigentlich brauchst Du das nicht mehr, dennoch: h ist die Höhe der Kalotte. Wenn der Radius der Kugel gleich eins ist, dann ist das zugleich der cos des Winkels 0°.Wenn der Winkel größer wird, wird der cos kleiner, eins minus diesen cos ist die Höhe der Kalotte. Gruß, eck.

[X_Strom]

Damit komme ich mit ω = 35° ≈ 0.61 rad auf Ω = 4 π
sin²(ω/4) ≈ 0.29 sr.

Ich hatte was anderes als Ergebnis.

Als Lichtstrom Φ = I Ω erhalte
ich 600 cd · 0.29 sr = 174 lm

Upps, klar, die Lichtstärke muss mit dem Raumwinkel mulitpliziert werden, ich hatt durch ihn dividiert. Ist ja logisch, eine Lampe, die den doppelten Raumwinkel mit einer bestimmten Lichtstärke beleuchtet, hat ja den doppelten Lichtstrom.
Aber irgendwie passt da was nicht.
Du kommst auf 0,29sr, ich hatt deutlich mehr.
Und die berechneten 174lm von Dir stehen dann meinen über 600 entgegen.
Bei Dir hätte die Lampe (7W) ja nur noch rund 25lm/W - das ist Halogenlampenniveau.

[Martin]

Hallo,

Damit komme ich mit ω = 35° ≈ 0.61 rad auf Ω = 4 π
sin²(ω/4) ≈ 0.29 sr.

Ich hatte was anderes als Ergebnis.

dann muss in mindestens einer Rechnung der Wurm drin sein. Ich habe meine nochmal geprüft und kann keinen Fehler darin entdecken.

Als Lichtstrom Φ = I Ω erhalte
ich 600 cd · 0.29 sr = 174 lm

Upps, klar, die Lichtstärke muss mit dem Raumwinkel
mulitpliziert werden, ich hatt durch ihn dividiert. Ist ja
logisch, eine Lampe, die den doppelten Raumwinkel mit einer
bestimmten Lichtstärke beleuchtet, hat ja den doppelten
Lichtstrom.

Korrekt.

Und die berechneten 174lm von Dir stehen dann meinen über 600
entgegen.

Bei Dir hätte die Lampe (7W) ja nur noch rund 25lm/W - das ist
Halogenlampenniveau.

Richtig: 174 lm/(7 W) ≈ 25 lm/W.

Zum Vergleich: Die OSRAM Golden Dragon Plus warm white powert laut Datenblatt typisch 69 lm bei 350 mA Strom und 3.2 V Spannung, das ergibt ≈61 lm/W. Da finde ich die errechneten 25 lm/W für Deine LED sogar ziemlich plausibel.

Gruß
Martin