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Archimedisches Axiom

Von: , Frage gestellt am Fr, 29. Okt 1999

Hallo,
wir haben heute von unserem Professor eine Def bekommen und daraus einige Folgerungen abgeleitet. Allerdings habe ich weder die Def noch die Folgerungen so exakt verstanden und da jetzt Wochenende ist und ich niemanden mehr fragen kann, wäre es nett wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte:
Also es geht um das Archimedische Axiom. Es ist folgendermaßen definiert:
Für alle x E K existiert n E N mit x < n
Was bringt mir dieses Axiom und was bedeutet es überhaupt genau?
Aus diesem Axiom haben wir dann noch einige Folgerungen abgeleitet:
1.) Für §>0 aus K existiert n E N(>0) so daß 1/n < $
2.) Folgerung (Dichtigkeitssatz):
Die rationalen Zahlen liegen direkt in jedem archimedischen Körper K:
für alle x E K und für alle $>0 aus K exisitiert ein q E Q mit x-$ < q < x+$
Wie kommt man denn auf diese Folgerungen und was besagen sie überhaupt so genau. Ich verstehe zwar bei 2.) für was man dies verwenden kann, aber in 1.) sehe ich keinerlei Sinn.
Für 2.) hat er dann auch noch einen Beweis erbracht, bei dem er ohne genauer darauf einzugehen einfach $ = 1/n setzt. Was ich ebenfalls nicht so ganz verstehe?

Wäre sehr nett wenn mir jemand eine kleine Erklärung zu diesen Problemen geben könnten, damit sich meine Unklarheiten ein wenig aufklären.

Vielen Dank im voraus!
Julia

1 Antworten zu dieser Frage

1. Antwort von nach 22 Stunden hilfreich

   Re: Archimedisches Axiom

   Hallo Julia,
   
   ich will mal versuchen, wenigstens etwas Licht in Dein Dunkel zu bringen.
   > Was bringt mir dieses Axiom und was bedeutet es überhaupt genau?
   Was es Dir persönlich bringt, daß vermag ich natürlich nicht zu sagen, es besagt jedoch einfach, daß die Menge der natürlichen Zahlen nicht beschränkt ist. Zu jedem Element eines archimedischen Körper K gibt es eine natürliche Zahl, welche größer ist.
   
   Wie kommt man denn auf diese Folgerungen und was besagen sie überhaupt so genau.
   Sie besagt einfach, daß sich jedes Element eines archimedischen Körper K als Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen darstellen läßt. Dies ist die Bedeutung der Aussage: Q liegt dicht in K. Welchen praktischen Nutzen hat man hiervon? Nun, z.B. sind die Binärzahlen, die ein Computer darstellen kann, eine Teilmenge von Q. Man kann unter Verwendung der o.a. Folgerung nun beispielsweise beweisen, daß man auch irrationale Zahlen beliebig genau binär darstellen kann, wenn man nur genug Stellen benutzt. Interessant wird es, wenn man den Gedanken weiterspinnt, z.B. auf Vektorräume erweitert. Dann kann man zeigen, daß die Menge aller Polynome dicht in C[a,b] liegt, dem Vektorraum aller auf dem Intervall [a,b] stetigen Funktionen. Dieses liefert die für die numerische Mathematik unschätzbar wertvolle Aussage, daß ich jede stetige Funktion durch polynominale Ansatzfunktionen beliebig gut approximieren kann.
   
   Gruß und ein schönes Wochenende
   Ted
   
   PS.: Du solltest Deine Einstellung einmal überdenken. Wenn Du immer bei allen Dingen sofort wissen willst, für was man sie verwenden kann, dann wirst Du mit der Mathematik nicht glücklich werden. Die mathematischen Grundlagen der Computertomographie wurden z.B. im ersten Viertel dieses Jahrhunderts von einem Schweizer Wissenschaftler erdacht. Sie mußten fast 60 Jahre auf eine Anwendung warten.
   

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