Beweis Behauptung beweise Z1 Beweises

Beweise: Abbildung injektiv, surjektiv oder bijekt

Von: , Frage gestellt am So, 31. Okt 1999

Hi,
wir haben folgende Definitionen von injektiv, surjektiv und bijektiv bekommen:

Abbildung: f: M->L
1.) injektiv: x,y E M x!=y => f(x)!=f(y)
2.) surjektiv: zu jedem y E L gibt es ein x E M für das f(x) = y gilt
3.) bijektiv: injektiv und surjektiv

Die Aufgabe ist wohl relativ leicht, jedoch
würde ich ganz gerne wissen ob sie richtig
gelöst ist, dazu gebe ich dann auch meine
Lösung an.

f(z): Z -> Z definiert durch f(z) = z+3

Behauptung: f(z) ist injektiv und surjektiv
und bijektiv

Beweis1:
Behauptung: f(z) ist injektiv
Annahme: f(z) ist nicht injektiv
Voraussetzung: z1 != z2 => f(z1) = f(z2)

Beweis:
f(z1) = z1 + 3
f(z2) = z2 + 3
Da f(z1) = f(z2) folgt:
z1+3=z2+3
=> z1=z2 Widerspruch zur Voraussetzung z1
!= z2 ==> Behauptung f(z) ist
injektiv ist richtig

Beweis2:
Behauptung: f(z) ist surjektiv
Beweis:
z+3 E Z
f(z)= y E Z
=> y=z+3
=> z=y-3 mit (y-3) E Z
=> f(y-3) = (y-3)+3 = y
=> Für jedes z E Z gibt es ein f(z) E Z
==> f(z) ist surjektiv

==> da f(z) injektiv und surjektiv ==> f(z)
ist bijektiv

// qed


Es wäre nett wenn mir jemand sagen könnte
ob dieser Beweis korrekt ist.
Eine Unstimmigkeit die mich beispielsweise
beschäftigt ist ob ich bei Beweis
1 einfach als Voraussetzung annehmen darf
das: nicht injektiv ==> z1 != z2 => f(z1) =
f(z2)

Vielen Dank im voraus
Sebastian

4 Antworten zu dieser Frage

1. Antwort von nach 4 Stunden hilfreich

   Re: Beweise: Abbildung injektiv, surjektiv oder bi

   Eine Unstimmigkeit die mich
   beispielsweise
   beschäftigt ist ob ich bei Beweis
   1 einfach als Voraussetzung annehmen darf
   das: nicht injektiv ==> z1 != z2 =>
   f(z1) = f(z2)
   Nein, Du möchtest einen indirekten Beweis durchführen und dazu das Gegenteil des zu Zeigenden annehmen:
   Annahme: ES GIBT z1, z1 mit z1!=z2 UND f(z1)=f(z2)
   
   Der Beweis ist der Injektivität ist ansonsten ok.
   
   Zur Surjektivität: Du musst zeigen, das jedes Element der Bildmenge (Z) ein Urbild hat. Dazu nimmst Du ein beliebiges y E Z und gibst an, wie das Urbild (x E Z) dazu aussieht.
   
   Mit dieser Information solltest Du es hinkriegen.
   

   • Antwort von nach 7 Stunden hilfreich

     Re^2: Beweise: Abbildung injektiv, surjektiv oder

     Hi,
     danke für deine Antwort.
     Ich hätte da nochmal zwei Fragen.
     1.) Wenn ich zeigen will, daß eine
     Abbildung nicht surjektiv ist, dann reicht
     es doch aus, ein Gegenbeispiel zu finden,
     oder?
     2.) Muß ich bei dem Beweis der Injektivität
     nicht auch noch die andere Richtung
     beweisen, d.h. die Annahme machen: z1=z2 =>
     f(z1) != f(z2) und dies dann zum
     Widerspruch führen.
     Kann ich auch bei Injektivität ganz anders
     vorgehen und mit Hilfe eines direkten
     Beweises und der Komposition der Def von
     Injektivität, also f(x1) = f(x2) => x1 = x2
     zeigen, daß aus
     f(x1) = x1+3
     f(x2) = x2+3
     => x1+3=x2+3 ==> x1=x2
     
     //qed [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
     

     • Antwort von nach 10 Stunden hilfreich

       Re^3: Beweise: Abbildung injektiv, surjektiv oder

       Hi,
       
       die Injektivität deiner Abbildung ist direkt beweisbar.
       Annahmme:z1!=z2
       f(z1)=z1+3
       f(z2)=z2+3
       Zu beweisen: z1+3!=z2+3 ( -3 )
       <=>
       z1!=z2
       Das ist grade die Vorraussetzung.
       
       Max [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
       

     • Antwort von nach 22 Stunden hilfreich

       Re^3: Beweise: Abbildung injektiv, surjektiv oder

       Hi,
       danke für deine Antwort.
       Ich hätte da nochmal zwei Fragen.
       1.) Wenn ich zeigen will, daß eine
       Abbildung nicht surjektiv ist, dann
       reicht
       es doch aus, ein Gegenbeispiel zu finden,
       oder?
       Ja, tut es. (Du müßtest also, ein Element auf dem Bild finden, das kein Urbild besitzt). 2.) Muß ich bei dem Beweis der
       Injektivität
       nicht auch noch die andere Richtung
       beweisen, d.h. die Annahme machen: z1=z2
       =>
       f(z1) != f(z2) und dies dann zum
       Widerspruch führen.
       Nein, denn das hat nichts mit Injektivität zu tuen. Wenn das nicht erfüllt wäre, dann wäre das ganze nicht mal ne Abbildung. Kann ich auch bei Injektivität ganz
       anders
       vorgehen und mit Hilfe eines direkten
       Beweises und der Komposition der Def von
       Injektivität, also f(x1) = f(x2) => x1
       = x2
       zeigen, daß aus
       f(x1) = x1+3
       f(x2) = x2+3
       => x1+3=x2+3 ==> x1=x2
       
       //qed
       Wenn es darum geht Bijektivität zu zeigen, kannst du es dir auch noch viel leichter machen, indem du einfach die Umkehrabbildung f^-1 angibst und dann schnell noch ausrechnest, daß (f(f^-1))= 1 =((f^-1(f(z)).
       In deinem Fall wäre f^-1(z)=z-3.
       

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