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nach 20 Tagen
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Re^4: 0,999999... == 1?
Hallo Sascha!
Deine Begründung muß ich neidlos als "einfach klasse" anerkennen. Wie konnte sich dieses "Schätzchen" bloß meiner Kenntnis so lange entziehen, bzw. warum bin ich nicht längst selbst auf die naheliegende Grenzwert-Bildung lim(x->0)(x^x) gekommen? Teufel, manchmal ist man einfach zu blöd.
Das Ding steht übrigens auch im "Bronstein" als Beispiel zur Regel von l'Hospital. *schäm*
Vielleicht interessiert es Dich, daß es noch eine ganz andere, l'Hospital-lose Begründung für "0^0 = 1" gibt. Unter einer bestimmten Voraussetzung kann man nämlich den Wert von 0^0 tatsächlich einfach ausrechnen, und zwar ganz "elementar".
Der Schlüssel dazu ist der binomische Satz. In seiner "Urform", d. h. so wie er aus seiner Vollständige-Induktion-Fabrik herauskommt, lautet dieser:
(a+b)^n
= a^n
+ (n über 1) a^(n-1) b
+ (n über 2) a^(n-2) b^2
+ ...
+ (n über n-1) a b^(n-1)
+ b^n
Kompakter wird das Teil, wenn man alle Summanden bis auf den ersten und den letzten als Sigma-Summe schreibt:
(a+b)^n
= a^n
+ SUM [k=1...n-1] (n über k) a^(n-k) b^k
+ b^n
Wegen der beiden Übrigbleibsel a^n und b^n sieht das natürlich potthäßlich aus. Um auch die in die Sigma-Summe hineinzukriegen, muß man aber nur folgende beiden Forderungen stellen:
1. a^n !=! (n über 0) a^(n-0) b^0
2. b^n !=! (n über n) a^(n-n) b^n
jeweils für alle a, b (einschließlich a=0, b=0 !!!)
Jetzt kann man noch vereinfachen, weil man ja weiß, daß (n über 0) = (n über n) = 1, und erhält:
1*. a^n !=! a^n b^0
2*. b^n !=! b^n a^0
wieder jeweils für alle a, b, einschließlich a=0, b=0
Diese beiden Bedingungen sind aber nur dann erfüllbar, wenn
1**. a^0 = 1 für alle a (einschließlich a=0)
2**. b^0 = 1 für alle b (einschließlich b=0)
Der Clou liegt jetzt in den "Einschließlich-Bemerkungen", den die implizieren gerade unser 0^0=1.
Anders ausgedrückt: Wenn man den binomischen Satz in seiner kompaktesten Form
(a+b)^n = SUM [k=0...n] (n über k) a^(n-k) b^k
auch für a=0 und b=0 gelten läßt (was wohl niemand nicht tun wird), sagt damit automatisch, daß 0^0=1. Wer's nicht glaubt, möge rechnen: Man setze zunächst (der Einfachheit halber) n=1. Dann geht der binomische Satz über in
a+b = a b^0 + a^0 b
Wenn wir jetzt einmal a und einmal b auf Null setzen, erhalten wir in beiden Fällen das Resultat 0^0=1.
Freue mich über alle Meinungen dazu...
Gruß
Martin
