Druck wert Freund Definition Gespräch weisheiten Potenzreihe

nochmal 0^0

Von: , Frage gestellt am Di, 31. Aug 1999

Hi,

obwohl das erst vor kurzem hier im Gespräch war (und ich selbst meine Weisheiten dazu beigegeben habe ;o) ), muss ich nochmal das Thema ansprechen... ich habe gestern mit ein paar Freunden beim Mathelernen das Thema diskutiert...

ich habe die unten geposteten Argumente gebracht, aber ein Freund hat dann was zur Sprache gebracht, worauf wir alle nichts mehr wussten...

man kann ja jede Funktion in einer Potenzreihe ausdrücken, und da steht dann ja ax^n + bx^(n-1) + ... + zx^0

und genau da, DARF 0 eingesetzt werden und ist somit dann 1 bei 0^0 (z.B. Sinusreihe)

hoffe, ich kriege hier keinen Ärger, weil das unten schonmal diskutiert wurde, aber es würde mich doch echt brennend interessieren. Ist es nur manchmal definiert oder eine Dunkelzone wie z.B. Licht = Welle UND Teilchen ?!

Gruss, Arne

2 Antworten zu dieser Frage

1. Antwort von nach 42 Minuten hilfreich

   Re: nochmal 0^0

   Hallo
   
   Das Problem löst sich dann auf, wenn man nochmals die Bedeutung des Satzes "0^0 ist nicht definiert", untersucht.
   
   Die Aussage ist: Der Grenzwert x bzw. y gegen 0 von x^y ist nicht für alle Möglichkeiten, wie x und y gegen 0 gehen können, gleich. Deshalb ist der Grenzwert nicht eindeutig.
   
   ABER:
   Du hast eine zusätzliche Bedingung ins Spiel gebracht, nämlich, daß y ZUERST gegen 0 geht. Dann haben wir die Aussage:
   
   Der Ausdruck x^0 ist für alle Möglichkeiten, mit x gegen 0 zu gehen gleich (nämlich gleich 1) und damit wohldefiniert.
   
   Viele Grüße
   Thomas
   

2. Antwort von nach 25 Minuten hilfreich

   Hihi...

   Hallo, Arne, man kann ja jede Funktion in einer
   Potenzreihe ausdrücken, und da steht dann
   ja ax^n + bx^(n-1) + ... + zx^0
   
   und genau da, DARF 0 eingesetzt werden und
   ist somit dann 1 bei 0^0 (z.B.
   Sinusreihe)
   Schlauer Einwand! Aber wenn man diese Taylor-Entwicklung nun konkret beweist, kommt man nie in die Verlegenheit, mit der Drei-Symbol-Kette x^0 zu operieren, sondern hat immer schon 1 an dieser Stelle.
   Der Beweis startet ungefähr mit der Definition der Ableitung einer Funktion
   als lineare Abschätzung für wenig von Null abweichende x:
   
   f(x)=f(0)+xf'(0)+ O(x^2)
   
   In Eurer Potenzreihe wäre dann z:=f(0),
   y:=f'(0), etc. Es kommt schon hier nirgends ein x^0 vor. Die ganze Taylor-Reihe entwickelt man aus dieser linearen Abschätzung gewissermaßen iterativ.
   
   Die beliebte Formel
   
   f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n
   
   ist streng genommen für x=0 nicht erklärt,
   aber das wird auch in der Hochschulmathematik nicht weiter problematisiert. Natürlich meint man bei dieser Notation eher
   
   f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n x^n
   
   Ich hoffe, etwas zur Klärung beigetragen zu haben.
   
   Gruß
   Stefan
   

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