Faltung | aus Forum Physik

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Antwort von nach einem Tag hilfreich

Re: Faltung

Hallo zur"uck,

das einfachste Beispiel einer Faltung ergibt sich bei der Polynommultiplikation, da gilt n"amlich

c_n=sum(k<=n) a_kb_n-k

f"ur Polynome a(t)=sum(k:=0) a_kt^k,...

Die anderen erw"ahnten Formen der Faltung lassen sich als Verallgemeinerungen verstehen, wenn a_k:=f(k),b_k:=g(k), c_k:=h(k), t=exp(ix) gesetzt wird, und k kontinuierlich gew"ahlt wird,
h(n)=sum(k) f(k)g(n-k)
der "Ubergang von der Summe zum Integral sei mal "ubergangen.

Die Faltung ist also rein mathematisch die Vorschrift, wie man von den Koeffizienten zweier Faktoren in einer bestimmten Basis die Koeffizienten des Produkts bestimmen kann.

MfG, Lutz

Antwort von nach 3 Stunden hilfreich

Re: Faltung

Eine Faltung ist ein Integral "uber ein Produnkt zweier Funktionen, deren Variable gleich ist, und "uber die dabei integriert wird, also Integral "uber f(x)*g(x) dx.

Z.B. kann g(x) eine irgendwie geartete intrinsische Verteilungsfunktion sein, die wir aber so nicht messen k"onnen, weil z.B. eine Messapparatur mit einem nichtkonstanten Einfluss die Messung an jedem Punkt ver"andert. Also nochmal eine Art Verteilungsfunktion. Dann ist das, was Du misst, die Faltung "uber die intrinsische Verteilung und die Verf"alschung durch die Messung. Ich kann Dir hier mal ein Beispiel aus der Astronomie nennen - stell Dir vor, Du willst wissen, wie lange Du in einem bestimmten Filter, dessen Transmissionskurve Du kennst, belichten musst. Du kennst das Spektrum des Objekts, das Du beobachten willst, also die Verteilung des Lichts (der ankommenden Photonen) auf die verschiedenen Wellenl"angen (die ''intrinsische Verteilungsfunktion''). Wenn Du jetzt wissen willst, wieviele Photonen durch Deinen Filter (der eine gewisse Breite hat) durchkommen, musst Du an jeder Stelle des Spektrums die Anzahl der Photonen mit der Transmission des Filters an dieser Stelle multiplizieren (dann weisst Du, wieviele Photonen der Wellenl"ange genau da durchkommen), also das Spektrum S(lambda) mit der Transmission T(lambda) multiplizieren, und dann alle Photonen aufaddieren, damit Du die Gesamtzahl kriegst. Also Summe (bzw Integral) "uber S(lambda)*T(lambda) dlambda. Das war dann eine Faltung.
Wenn Du in den Himmel guckst, und siehst verschieden helle Sterne, dann siehst Du auch eine Faltung, n"amlich die Faltung ihrer r"aumlichen Verteilungsfunktion und der Leuchtkraftfunktion.
Faltungen treten in der Natur recht h"aufig auf, und oft ist es sehr schwer (oder unm"oglich), sie wieder zu entfalten.

http://www.mpia-hd.mpg.de/MPIA/Projects/CADIS/people...

Antwort von nach 5 Stunden hilfreich

Re^2: Veto!

Hallo, Kollegin, Eine Faltung ist ein Integral "uber ein
Produnkt zweier Funktionen, deren Variable
gleich ist, und "uber die dabei integriert
wird, also Integral "uber f(x)*g(x) dx.
Nope! Das ist keine Faltung, sondern allenfalls ein Skalarprodukt oder, wie Du bei den Sternen anführst, eine gewichtete Summe.
Die Faltung f*g zweier Funktionen f und g ist wieder eine Funktion:

(f*g)(y) = \int f(y-x)g(x) dx

Der primäre Vorteil ist, daß die Fouriertransformierte von f*g das gewöhnliche Produkt der Fouriertransformierten von f und g ist.
Faltungsprodukte treten z.B. bei Korrelationsproblemen auf, wenn das System eine Art Gedächtnis hat.
Soweit in Kürze, viel mehr weiß ich aber auch nicht. In der QFT reicht mir die FT selbst.

Mit kollegialem Gruß
Stefan
- Antwort von nach 22 Stunden hilfreich
  
  Re^3: Veto!
  
  wie Du bei den Sternen anführst, eine gewichtete
  Summe.
  Das ist aber in diesem Fall wirklich eine Faltung, da die Verteilungsfunktion (z.B. der stellaren Scheibe) von der absoluten Helligkeit (vom Spektraltyp, also eigentlich der Masse) abh"angt. Die Scheibe ist eben nicht wirklich isotherm, sondern durch wenn auch seltene Zweik"orperst"osse virialisiert. Die Leuchtkraftfunktion seinerseits h"angt auch vom Ort ab - in der Dicken Scheibe befinden sich z.B. wesentlich weniger fr"uhe Spektraltypen als z.B. in der Ebene. Daher ist die Anzahldichte in Abh"angigkeit von der scheinbaren Helligkeit
  
  N(m)=\int_0^{\Infty} \rho(r,l,b,M)\Phi(r,b,M)\omega r^2 dr
  
  dabei ist \rho die Dichte, \Phi die Leuchtkraftfunktion, omega der Raumwinkel, r der Abstand, l und b Galaktische L"ange und Breite, m die scheinbare Helligkeit und M die absolute Helligkeit. Diese Gleichung wird als Grundgleichung der Stellarstatistik bezeichnet und l"asst sich formal l"osen. Das Problem ist dabei, dass die LKF eine gewisse Breite Delta M hat, die den Bereich der Distanzen bestimmt, die zu der beobachteten Anzahl der Sterne in einem bestimmten Helligkeitsintervall (dN(m)) beitr"agt. Je breiter dieser Bereich ist, desto mehr wird die Information "uber die Dichteverteilung verschmiert.
  Das ist eine Faltung.
  - Antwort von nach einem Tag hilfreich
    
    Re^4: Bin ich stur?
    
    Hallo, Kollegin, Das ist aber in diesem Fall wirklich eine
    Faltung, da die Verteilungsfunktion
    Ich glaube, daß hier wieder einmal die typisch physikalische Begriffsverwirrung vorliegt. Das Wort ``Verteilungsfunktion'' sagt es ja schon selbst, daß das von Dir beschriebene Integral eine gewichtete Summe ist, was wie ein simples Dichteintegral aussieht. ``Faltung'' auch zu sowas zu sagen, halte ich für Küchenlatein.
    
    Hingegen ist der Begriff ``Korrelationsfunktion'' typisch für Faltungen. MEB hat es ganz gut beschrieben.
    
    Ganz vordergründig vermisse ich im Sternenintegral schlicht eine Funktion, die von (x-r) abhängt, so daß das ganze Integral noch von x abhängig wäre.
    
    Ich kann jetzt nicht mehr tun als auf die schriftlichen Autoritäten (Bronstein etc.) zu verweisen.
    Sorry.
    
    Herzlich
    Stefan
    - Antwort von nach 4 Tagen hilfreich
      
      Re^5: Ja..aber ich auch!
      
      Also, die effektive Breite der Leuchtkraftfunktion (Delta M) bestimmt den Bereich der Distanzen (r1-r2), die zu der Anzahl der beobachteten Sterne in einem scheinbaren Helligkeitsintervall beitragen. Wenn ein Stern der Absoluthelligkeit M im Abstand r1 zu N(m) beitr"agt, kann das auch ein anderer Stern der Absoluthelligkeit M+DeltaM im Abstand r2. Je gr"osser also Delta M ist, desto gr"osser wird auch das Intervall der Distanzen, die zu der Z"ahlung der scheinbaren Helligkeiten beitragen.
      - Antwort von nach 4 Tagen hilfreich
        
        Re^6: Also gut! En garde...
        
        Hallo, Kollegin,
        diese Fußangel mit dem \Delta M und den beiden Abständen r1 und r2 habe ich jetzt erfaßt.
        Laß mich weiter fragen: Wie sind in der Integralformel (die Hauptgleichung der Stellarstatistik) die Größen m und M miteinander verbunden? Auf rhs vermisse ich das kleine m für die scheinbare Helligkeit.
        
        In froher Erwartung feiner Diskussion
        Stefan
      - Antwort von nach 4 Tagen hilfreich
        
        Re^7: Also gut! En garde...
        
        Guten Morgen Kollege,
        die scheinbare Helligkeit ist mit der absoluten Helligkeit "uber das ''Entfernungsmodul'' verkn"upft: wenn der Abstand d in Parsec gemessen wird, gilt
        m-M = 5 log d - 5
        Frohes Schaffen!
      - Antwort von nach 5 Tagen hilfreich
        
        Re^8:Le coup second
        
        Mahlzeit, Kollegin,
        
        dieser parsec-Formel zufolge wird dann die Variable M im Sternenintegral als von r abhängig betrachtet?
        
        Guten Appetit nachträglich
        Stefan

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