Hallo,
ich hab mal gehört, daß jedes Vektorfeld, daß die Integrabilitätsbedingungen erfüllt automatisch eine Potentialfunktion besitzt, solange der Definitionsbereich ein einfach zusammenhängendes Gebiet ist.
Kann mir mal jemand erklären wieso das ausgerechnet bei einem solchen Definitonsbereich gilt? Ich will jetzt eigentlich keinen
Beweis, sondern eine anschauliche Begründung, wenns die gibt.
Danke
OLIVER
Ohne diese Einschränkung hinsichtlich der
Definitionsbereiche könnte man auch welche wählen, die z.B.
aus einzelnen, weit verstreuten Punkten bestehen. Solche
Bereiche dürften Probleme bei der Formulierung der Inte-
grabilitätsbedingung bereiten.
MEB
Hi,
ich glaube das reicht nicht. für ein zweifach zusammenhängendes Gebiet, also eines daß "nur" ein Loch enthält, geht es ja schon nicht.
Soweit ich mich erinnere liegt es daran, daß sich geschlossene Wegintegrale nicht immer stetig auf einen Punkt zusammenziehenlassen. Für ein Potential muß ja ein konservatives Vektorfeld vorliegen. D.h. geschlossene Kurvenintegrale sind stets Null. Wenn nun ein geschlossenenes Kurvenintegral um das Loch herumführt, ist das nicht mehr gegeben.
Max
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Siehe Maximilian,
Es kann einfach passieren, dass das Vektorfeld ausserhalb des Definitionsbereichs eine Singularitaet hat. Dann landest Du, wenn Du einmal um ein solches Loch drumrumlaeufst, eine Etage hoeher oder tiefer. Standardbeispiel ist der komplexe Logarithmus, dessen Gradientenfeld ist ausserhalb der Null definiert, erfuellt die I-Bedingungen, sieht aber aus wie eine Wendeltreppe.
Andere, endlichere Beispiele kommen aus der Funktionentheorie, man nehme die implizit definierte Funktion w(z),
w^2=p(z), p ein Polynom mit einfachen Nullstellen, der Gradient ist dann rational in z=x+iy, ist integrabel mit Loechern bei den Nullstellen von p, und einmal um ein solches Loch drumrumlaufen wechselt das Vorzeichen von w.
Integrabilitaet heisst einfach, dass man lokal ein Potential finden kann, das ist aber nur bis auf eine Integrationskonstante eindeutig. Fuegt man mehrere solcher Schnipsel so zusammen, dass die Integrationskonstanten "passen", d.h. hebt und senkt man das Potential, so dass es stetig wird, dann erhaelt man Unabhaengigkeit von der Reihenfolge der Schnipsel nur fuer einfach zusammenhaengende Gebiete, bei Loechern kann man auf einen schon fixierten Schnipsel stossen und die Konstanten passen nicht, da beide (aktueller und aelterer Schnipsel) schon fixiert sind.
Der Knackpunkt ist also nicht, dass solche Mehrdeutigkeiten auftreten koennen, sondern dass sie bei einfachen Gebieten gerade nicht auftreten.
Ciao Lutz
Integrabilitaet heisst einfach, dass man lokal ein Potential
finden kann, das ist aber nur bis auf eine
Integrationskonstante eindeutig. Fuegt man mehrere solcher
Schnipsel so zusammen, dass die Integrationskonstanten
"passen", d.h. hebt und senkt man das Potential, so dass es
stetig wird, dann erhaelt man Unabhaengigkeit von der
Reihenfolge der Schnipsel nur fuer einfach zusammenhaengende
Gebiete, bei Loechern kann man auf einen schon fixierten
Schnipsel stossen und die Konstanten passen nicht, da beide
(aktueller und aelterer Schnipsel) schon fixiert sind.
Ja danke erstmal, jetzt komm ich der Sache schon näher, aber ich hab nicht genau verstanden, wieso man bei einem nicht einfach zusammenhängendem Gebiet diese Schnipsel nicht zusammenfügen kann. Ich denke da z.B. an eine gelochte Kreisscheibe; hier existiert doch eine Potentialfunktion für jedes Segment und wenn ich alle Segmente einfach zusammenfüge, dann habe ich doch auch eine Potentialfunktion für den gesamten Definitionsbereich, oder nicht?
Gruß
OLIVER
Ja danke erstmal, jetzt komm ich der Sache schon näher, aber
ich hab nicht genau verstanden, wieso man bei einem nicht
einfach zusammenhängendem Gebiet diese Schnipsel nicht
zusammenfügen kann. Ich denke da z.B. an eine gelochte
Kreisscheibe; hier existiert doch eine Potentialfunktion für
jedes Segment und wenn ich alle Segmente einfach zusammenfüge,
dann habe ich doch auch eine Potentialfunktion für den
gesamten Definitionsbereich, oder nicht?
Hi,
jetzt stell Dir vor, dass jeder Schnipsel eine in positiver Rotationsrichtung monoton wachsende Funktion beschreibt (z.B. die Winkelaenderung). Dann kannst Du gar nicht beim selben Wert wieder ankommen. Dazu muesste es ja wieder irgendwo nach unten gehen.
Ciao Lutz