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Was ist eine Ableitung / ein Integral WIRKLICH?

Von: , Frage gestellt am So, 14. Nov 1999

Wahrscheinlich habe ich in Mathematik eine massive Lücke, aber ich weiß beim besten willen nicht, was eine Ableitung ist. Beispiel soll hier die Funktion F(x)=x^2 sein. Klar ist mal, daß ich vom Exponenten 1 abziehe und den ursprünglichen Exponenten vor das x schreibe. Hier hätten wir dann als Ableitung F`(x)=2x. klar ist auch, was die Ableitung angibt, nämlich die Steigung der Funktion F(x) im Punkt x. Und das Integral geht genau anders herum... Was hat es aber mit der Schreibweise d/dx (Ableitung) bzw. dx (Integral) auf sich? Ich dachte bis jetzt, es handelt sich hier nur um eine Schreibweise, die die Ableitung / das Integral auch als solches bezeichnet, aber jetzt im Studium passiert es öfter mal, daß eine Unbekannte "einfach so zum Spaß" anstatt x einfach dx genannt wird, wobei das d meist zuvor noch ein kleines Delta war, danach einfach klein Delta durch dx geteilt wird, und siehe da, wir haben eine Ableitung. Genau so mit dem Integral, bei dem das dx dann einfach wie ein Faktor behandelt wird und auch schon mal deswegen vor das Integralzeichen gezogen wurde. Des weiteren würde mich noch einmal der genaue Zusammenhang zwischen Integral und Summe (groß Sigma) in allgemeinen sehr interessieren.

3 Antworten zu dieser Frage

1. Antwort von nach 53 Minuten hilfreich

   Re: Was ist eine Ableitung / ein Integral WIRKLICH

   Nun gut:
   Das ist ja einiges, was Du wissen willst!
   Ich bin zwar (NOCH) kein Physik-Student, aber ich denke, ich kriege es zusammen:
   
   Zunächst mal: Das d vor dx bedeutet "Differenz", also bei ds beispielsweise eine Wegstrecke. Das besondere bei Ableitung und Integral ist, dass hierbei unser dx infinitesimal klein wird. Jetzt ist es relativ kompliziert, Ableitung und Integral im Textmodus darzulegen. Wenn wirklich Interesse besteht, wäre es kein Problem, Dir ein schönes Ableitungs- und Integral-E-Mail mit JPG-Anhang zu senden. Würde mir auch Spaß machen!
   Am besten, Du meldest Dich nochmal per E-Mail bei mir...
   
   Bis dann, und lass nur ein infinitesimal kleines dt vergehen (hihi...),
   
   Alexander!
   

2. Antwort von nach 21 Stunden hilfreich

   Re: Was ist eine Ableitung / ein Integral WIRKLICH

   Lass Dich bloss nicht von dem kreativen Umgang von Physikern/Ingenieuren mit diesen Schreibweisen verwirren!
   Wenn man eine Weile Physik gemacht und Aufgaben gerechnet hat, dann weiss man nach einer Weile instinktiv, was man machen darf und was nicht. Und viele (vor allem Experimental-) Physiker benutzen dann sehr merkwürdige Schreibweisen, um das festzuhalten, weil die richtige Ausformulierung 'unnötige' Gripsarbeit bedeuten würde (weiß man doch schon, was herauskommt... :-) ).
   Lasst Euch das von Euren Profs nicht gefallen, ihr habt ein Recht auf eine ordentliche Ausformulierung.
   
   Jetzt aber zu den dx-en.
   Es hilft für das Verständnis ziemlich, für die Ableitung immer dieses Steigungsdreieck vor Augen zu haben, mit
   
   Steigung = delta y / delta x
   
   Die Ableitung ist der Grenzwert für infinitesimales delta x, aber meistens braucht man sich das delta x gar nicht unendlich klein vorzustellen, sondern nur 'ziemlich klein' und kann dann ziemlich gut mit diesem vorgestellten delta x rechnen.
   
   Für y=x^2 wäre das delta y zum Beispiel
   delta y = (x + delta x)^2 - x^2
   (Steigungsdreieck, x könnte auch x1 heissen)
   => delta y = 2*x*delta x + (delta x)^2
   Außerdem weiss man, daß bei der Limesbildung delta x -> 0 alles verschwindet, was quadratisch mit delta x geht, und dann bleibt nur noch delta y = 2*x*delta x oder
   Steigung = delta y / delta x = 2x
   
   Dieser flapsige Umgang mag Dich jetzt noch ziemlich annerven, geht Dir aber früher oder später auch in Fleisch und Blut über, wart's nur ab!
   Je früher Dir allerdings klar ist, was Du darfst und was nicht, umso früher wirst Du dich damit anfreunden.
   
   Aehnlich gehts mit den Integralen. Hier hilft es, sich immer diese Summe aus Rechtecken delta x * y(x) unter der Kurve vorzustellen.
   Nicht-infinitesimal ist das 'Integral' also die Summe dieser Rechtecke. Deshalb der Zusammenhang mit dem Summenzeichen.
   (Das Integralzeichen ist auch nichts anderes als ein verkorkstes S für Summe).
   
   Mir hat die einfache Vorstellung
   Integral = Summe
   Ableitung = Differenz
   beim Verständnis viel geholfen.
   
   So, jetzt habe ich Dich wahrscheinlich vollends in die Verwirrung getrieben.
   Aber mir hilft es immer sehr, von solchen 'Wischiwaschi'-Eselsbrücken auszugehen, und dann das Verständnis mit Details zu vertiefen.
   
   Gruß,
   
   Marcus
   

3. Antwort von nach 2 Tagen hilfreich

   Re: Was ist eine Ableitung / ein Integral WIRKLICH

   Hi
   
   Zu deinem Zusammenhang zwischen Summe und Integral würde ich dir sagen, daß die Summe einfach nur ein diskretes Integral bzw. das Integral eine kontinuierliche Summe ist. Wie dicht die beiden zusammenhängen sieht man an der schönen Äquvalenz aus Ana I, daß die unendliche Summe von 1 bis unendl. über f genau dann existiert, wenn das uneigentliche Riemannintegral von 1 bis unendlich über f existiert (ich glaube Vor. war die Stetigkeit von f und evtl. noch Monotonie).
   Deine Probleme mit dem Differential kann ich durchaus verstehen. Obwohl ich mittlerweile meine Ana-VD-Prüfung abgelegt hab, hab ichs auch noch nicht vollends begriffen.
   

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