Menge Aussage Elemente element Story

Mengen/Induktion/Mathe

Von: , Frage gestellt am Mi, 31. Okt 2001

Hallo alle zu sammen!!

Folgende Story: Dem bekannten franz. Forscher E.R. Reur ist es endlich gelungen, die erste These der Julirevolution ("Alle Menschen sind gleich") wissenschaftlich zu beweisen. Ist nämlich M eine Menge mit endlich vielen Elementen, so gilt a=b für alle a, b E (Element) M.
Beweis durch Induktion:
IA: Hat M genau ein Element, so ist die Aussage richtig.
IS: (i) Die Aussage sei richtig für Mengen mit genau n Elementen.(ii) Es sei M' eine Menge mit genau n+1 Elementen. Für b E M' sei N:= M'\{b}. Die Elemente von n sind nach (i) einander gleich. Es bleibt zu zeigen: b=c wenn c E M'. Dazu entfernt man ein anderes Element d aus M' und weiß dann: b E M'\{d}. Die Elemente dieser Menge sind nach (i) wiederum einander gleich. Wegen der Transitivität der Gleichheitsbeziehung folgt dann die Behauptung.
Was is falschan diesem Schluß??

Hat da jemand ne Idee??

Grüße
Britta

4 Antworten zu dieser Frage

1. Antwort von nach 14 Stunden 0 hilfreich

   Re: Mengen/Induktion/Mathe

   Was is falschan diesem Schluß??
   
   Hat da jemand ne Idee??
   Du bekommst nie mehr als einelementige Mengen. Wenn zwei Elemente gleich sind, dann sind sie nach Definiton der Gleichheit das selbe Element. Also ist M/{b} leer und alle Elemente in leer vereinigt {c} sind gleich. Aber b muss nicht mit c uebereinstimmen.
   
   Ciao Lutz
   

2. Antwort von nach 16 Stunden 0 hilfreich

   Nix mit Transitiv!

   Hallo ...
   Wegen der Transitivität der
   Gleichheitsbeziehung folgt dann die Behauptung.
   Was is falschan diesem Schluß??
   Ebendieser letzte Satz.
   
   Der Induktionsschritt scheitert bereits bei n=2. Sei M'={a,b}. Laut Beweis betrachte ich erst die Menge M'\{b} = {a}. Okay, a=a. Dann entferne ich ein anderes Element (als b) aus M', bleibt nur a. Also M'\{a} = {b}. Na gut, es ist auch b=b. Aber mit Transitivität der Gleichheitsrelation kann ich jetzt nix machen, über die Beziehung von a und b weiß ich gar nichts. Damit ist der "Beweis" bereits in der ersten Kurve gegen einen Baum gefahren.
   
   Gruß, Ralf
   

3. Antwort von nach 2 Tagen 0 hilfreich

   Re: Mengen/Induktion/Mathe

   Hallo Britta,
   
   Außer den in den beiden anderen Antworten genannten Gründen zieht auch noch das folgende Argument:
   
   Die vollständige Induktion ist geeignet Aussagen zu beweisen, die für alle natürlichen Zahlen gelten, d.h. die Form:
   
   Für alle n Element N gilt p(n)
   
   besitzen.
   
   Die Aussage
   
   Für alle a,b Element M gilt: a=b
   
   hat also die falsche Form und deshalb ist hier die vollständige Induktion gar nicht anwendbar.
   
   Selbst wenn man die Aussage über die endliche Anzahl der Elemente vervollständigt, paßt die Sache von der Form her immer noch nicht:
   
   Für jede endliche Menge M gilt für alle a,b Element M: a=b
   
   Gruß
   
   Helga
   

4. Antwort von nach 3 Tagen 0 hilfreich

   Danke

   Danke an euch drei.
   Bin ja mal gespannt, wie mwin Prof die Aufgabe zu lösen gedacht hat.
   Liebe Grüße
   
   Britta
   

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