fläche ableitung Einheit Rechnung grad integral Bogenmaß

Integral über Sinus(x), Bogenmaß oder Grad?

Von: , Frage gestellt am Di, 14. Dez 1999

Hallo,

beim Herumspielen mit meinem programmierbaren Taschenrechner bin ich auf eine Ungereimtheit gestoßen, die ich bislang nicht selber klären konnte:

Bekanntermaßen ist
INTEGRAL von 0 bis PI/2 sin(x) dx =1.

Das ist also anschaulich die Fläche der Sinusfunktion über der X-Achse im Intervall von 0 bis PI/2 oder 90 Grad.
Zuerst habe ich die Grenzen im Bogenmaß angegeben. Der Taschenrechner liefert dann auch 1 als Fläche (RAD-Modus). Bei der Rechnung "zu Fuß" ist einem egal, ob man mit Grad oder Bogenmaß rechnet, denn man weiß, das der cos(0 Grad)=1 und der cos(90 Grad, entsprechend PI/2)=0 ist. Dem Taschenrechner ist das aber nicht egal:
Jetzt wird die Berechnung wiederholt, und zwar von 0 bis 90 GRAD (Rechner im DEG-Modus). Nun erhält man als Ergebnis: 57,2958.

Frage nun: was ist das für eine Fläche? Welche Einheit hat sie? Darf man hier umrechnen in "Bogenmaßfläche", indem man rechnet 57,2958*PI/180 = 1 (wie zuvor)? Diese Umrechnung gilt doch, um einen WINKEL in das BOGENMASS umzurechnen, aber das Ergebnis der Rechnung war eine FLÄCHE (man rechnet ja auch nicht m^2 in cm um!)
Könnt Ihr mir etwas Licht ins Dunkel bringen?

Gruß,
Lutz.

3 Antworten zu dieser Frage

1. Antwort von nach einer Stunde hilfreich

   Re: Integral über Sinus(x), Bogenmaß oder Grad?

   Hallo Lutz,
   dieses Missverständnis kommt öfters vor,
   vor allem auch beim Ableiten (z.B. bei Fehlerrechnung wenn Winkelfunktionen auftreten). Also:
   Nehme einfach ein Stück Papier und zeichen eine Skizze. y(x)=sin(x) von 0.. pi/2 , Massstab y : 1 entspr. 1 cm, x: 1 (im Bogenmass! ) entspr. 1 cm. Dein Bildchen ist jetzt 1 cm hoch und ca. 1.57 cm lang, die Fläche unter der Kurve ist 1 cm^2. ok ?.
   Jetzt das selbe nochmal im Gradmass. 1 Grad => 1 cm. Das Bild ist jetzt auf 90 cm auseinandergezogen und die Fläche ist um den Faktor 90/(0.5*pi) grösser. Alles klar ?
   Gruss kr
   

   • Antwort von nach 2 Tagen hilfreich

     Re^2: Integral über Sinus(x), Bogenmaß oder Grad?

     Hi Kurt, Hallo Lutz,
     Nehme einfach ein Stück Papier und
     zeichen eine Skizze. y(x)=sin(x) von 0..
     pi/2 , Massstab y : 1 entspr. 1 cm, x: 1
     (im Bogenmass! ) entspr. 1 cm. Dein
     Bildchen ist jetzt 1 cm hoch und ca. 1.57
     cm lang, die Fläche unter der Kurve ist 1
     cm^2. ok ?.
     Jetzt das selbe nochmal im Gradmass. 1
     Grad => 1 cm. Das Bild ist jetzt auf
     90 cm auseinandergezogen und die Fläche
     ist um den Faktor 90/(0.5*pi) grösser.
     Alles klar ?
     Tut mir leid, leider nein, überhaupt nicht.
     Du verwendest nämlich für Grad und Bogenmaß in Deinen Zeichnungen unterschiedliche Maßstäbe, die nicht vergleichbar sind (Bogenmaß: pi ungef. 3,141 , entsprechend 180 Grad, also 3,141 cm; Gradmaß: 1 Grad = 1cm, und dadurch 180 Grad =180 cm!) Du mußt meiner Meinung nach auch die Grad-Skala auf pi "eichen", so daß 180 Grad auch hier 3,141 cm ergibt. Beide Bildchen sind dann gleich groß. Damit bin ich wieder da, wo ich angefangen habe... schnüff... Gruss kr
     Trotzdem danke,
     Gruß,
     Lutz.
     

2. Antwort von nach 7 Stunden hilfreich

   Re: Integral über Sinus(x), Bogenmaß oder Grad?

   Hi Lutz,
   
   mit sin und cos ist es so, dass die Ableitung der Sinusfunkton die Cosinusfunktion ist, und von cos x ist die Ableitung -sin x. Dies gilt allerdings nur, wenn man das Argument x in sin x im Bogenmass angibt. Es ist anschaulich völlig klar, dass der Graph der Sinusfunktion mit x in Grad eine viel kleinere Steigung hat (Nachdifferenzieren!). Entsprechend ist das Integral viel groesser.
   
   Mein Tip: Rechne grundsaetzlich ALLES im Bogenmass, benutze Angaben in Grad nur in Zeichnungen.
   
   
   Bobok Semjon. [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
   

Keine passende Antwort gefunden? Jetzt eigene Frage stellen!