wert umgebung Funktionen Definition Definitionsbereich Funktionswerte Punkt C

holomorphe Funktionen

Von: , Frage gestellt am Mi, 5. Dez 2001

Hallo.

Kann man eigentlich sagen, dass jede holomorphe Funktione eine Stammfunktion hat??

Gruß
OLIVER

26 Antworten zu dieser Frage

1. Antwort von nach 33 Minuten 0 hilfreich

   Re: holomorphe Funktionen

   Hi,
   
   nein.
   (Z-C)^-1 hat in keiner Umgebung von C eine Stammfunktion.
   
   Max [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
   

   • Antwort von nach einer Stunde 0 hilfreich

     Re^2: holomorphe Funktionen

     deine Funtion ist ja auch nicht holomorph.
     
     Oliver [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
     

     • Antwort von nach 19 Stunden 0 hilfreich

       Re^3: holomorphe Funktionen

       Hi,
       
       na klar ist die holomorph.
       Natürlich nicht global, aber das hast Du nicht gefragt.
       Grundsätzlich gilt, daß alle holomorphen Funktionen lokal eine Stammfunktion haben. Aber nicht mehr dann, wenn das betreffende Gebiet nicht einfach zusammenhängend ist. Genau das ist bei obiger Funktion der Fall.
       Du kannst natürlich in Umgebungen, die c nicht enthalten UND einfach zusammenhängend sind immer eine Stammfunktion angeben. Nämlich deshalb, weil dann jede holomorphe Funktion in eine Potenzreihe entwickelbar ist. Im obigen Fall in den logarithmus. In einer z.b. kreisförmigen Umgebung um c\c aber nicht mehr.
       
       Max [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
       

       • Antwort von nach 20 Stunden 0 hilfreich

         Re^4: holomorphe Funktionen

         HAllo,
         
         erstmal Danke für deine Antworten! (Z-C)^-1 hat in keiner Umgebung von C eine Stammfunktion.
         
         Max
         deine Funtion ist ja auch nicht holomorph.
         
         Oliver
         na klar ist die holomorph.
         Stimmt. Ich meinte global holomorph... Natürlich nicht global, aber das hast Du nicht gefragt.
         Grundsätzlich gilt, daß alle holomorphen Funktionen lokal eine
         Stammfunktion haben.
         Ok, kann man also sagen:
         "Jede global holomorphe Funktion hat eine Stammfuntion ?"
         
         Gruß
         Oliver
         

         • Antwort von nach 20 Stunden 1 hilfreich

           Re^5: holomorphe Funktionen

           
           Ok, kann man also sagen:
           "Jede global holomorphe Funktion hat eine Stammfuntion ?"
           
           Hi Oliver,
           
           so isses.
           Wichtiger ist aber die Aussage daß JEDE holomorphe Funktion lokal Stammfunktionen hat.
           Mir scheint auch Du hast etwas wichtiges übersehen. Nämlich die Wichtigkeit des Begriffes "einfach zusammenhängend".
           Schau Dir mal den Zusammenhang zwischen einfachzusamenhängend, integrabel, Stammfunktion, Satz von Stokes sowie Kraftfeldern und Potentialen an.
           
           Max
           

           • Antwort von nach 21 Stunden 0 hilfreich

             Danke o.T.

             kein Text
             

           • Antwort von nach einem Tag 0 hilfreich

             habs doch nicht verstanden

             
             Ok, kann man also sagen:
             "Jede global holomorphe Funktion hat eine Stammfuntion ?"
             
             Hi Oliver,
             
             so isses.
             Mir ist eben aufgefallen, dass deine Beispielfunktion f=1/(z-c) ja doch global holomorph ist. Die einzigste Stelle, wo das nicht der Fall wäre, ist am Punkt c, da dieser jedoch gar nicht zum Definitionsbereich gehört, wird er aber sowieso nicht betrachtet.
             Also wie jetzt?
             
             Gruß
             OLIVER
             

           • Antwort von nach einem Tag 0 hilfreich

             Re: habs doch nicht verstanden

             Hi,
             
             der eine Punkt reicht.
             Ich habe es oben geschrieben. Das Ringintegral um c hat den Wert 2pi*i. Gäbe es eine Stammfunktion, müsste es den Wert 0 haben.
             Natürlich kann man jede Funktion auf einem hinreichend kleinen Gebiet entwickeln. Aber das geht im wesentlichen nur auf Kreisförmigen Gebieten mit einer Laurentreihe und auf sternförmigen (und eventuell noch in ein paar Sonderfällen).
             Insofern ist das mit dem Zusammenhängend notwendig, aber nicht hinreichend.
             Der Satz von Stokes lasst sich aus 2 Gründen nicht anwenden.
             Erstens ist die Funktion nicht af dem ganzen Rand des Gebietes definiert (c ist topologisch Teil des Randes) und zweitens existiert keine Stammfunktion. Ich habe den Satz erwähnt, weil er für Physiker so wichtig ist.
             
             Max [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
             

           • Antwort von nach einem Tag 0 hilfreich

             ??

             Hallo,
             
             also je mehr ich darüber nachdenke, desto verwirrter bin ich. Das Ringintegral um c hat den
             Wert 2pi*i. Gäbe es eine Stammfunktion, müsste es den Wert 0
             haben.
             F=ln(z-c) ist doch eine Stammfunktion!
             
             Die Funktion ist holomorph und die Ableitung ist dF/dz=1/(z-c)=f
             
             Wieso ist dann das Ringintegral nicht Null??
             
             Oliver
             

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