Hallo,
kann mir bitte jemand mal erklären, was gleichmäßige Stetigkeit und Lipschitzstetigkeit bedeutet. Wie kann man sich das vorstellen?
Danke im Voraus! Kati
Hi,
das hatten wir mal in HM 1 oder 2, moment, ich muss grade mal den Ordner rauskramen…
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ok, ich zitiere aus dem Skript: Eine Funktion heisst stetig auf D, wenn es zu jedem epsilon >0 ein delta >0 gibt mit
||f(x)-f(y)|| 0 gibt mit
|f(x)-f(y)| [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hi!
Also die Definitionen kannst du ja nachschlagen… zur Vorstellung:
gleichmäßig stetig bedeutet: du kannst dir ein Kästchen basteln und damit den Graph der Funktion entlang fahren und der Graph kommt immer nur an den Seiten des Kästchens raus. z.B. geht das bei der Funktion f(x)=1/x nicht, denn wenn ich mich der Null nähere, kommt der Graph irgendwann oben raus… egal wie klein ich die Kantenlänge wähle.
die Lipschitz ist noch spezieller: sie fordert, daß nicht nur f gleichmäßig stetig ist, sondern auch ihre Ableitung.
Weil aber Differenzierbarkeit keine Vorraussetzung für Stetigkeit ist, darf man in der Definition natürlich nicht Ableitung schreiben, sondern Sekantensteigung.
z.B. ist f(x)=wurzel(x) nicht lip.stetig, weil die Ableitung f’(x)=1/2wurzel(x) für x->0 gegen unendlich geht und die oben beschriebene Sache mit dem Kästchen nicht geht.
Allgemein gilt:
lip. stetig => glm. stetig => stetig auf dem ganzen Def.bereich => stetig an einer Stelle a
Hoffe das hilft dir.
Gruß
OLIVER
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die Lipschitz ist noch spezieller: sie fordert, daß nicht nur
f gleichmäßig stetig ist, sondern auch ihre Ableitung.
Nein, Lipschitz-stetig und nirgends differenzierbar geht zusammen (spezielle Fraktale, welche faellt mir gerade nicht ein).
Ciao Lutz
Normale Stetigkeit sagt dass Du bei gegebenem Hoehenunterschied (epsilon) ein Stueck (delta) zur Seite (jede Seite) gehen kannst, ohne den Graphen zu verlassen.
gleichmaessig meint, dass die seitliche Entfernung (maximaler Radius) ueber alle Punkte ein positives Infimum hat (das war das verallgemeinerte Minimum).
(global) Lipschitz besagt dann, dass dieses globale Infimum durch eine lineare Funktion (durch den Nullpunkt, nicht affin-linear mit Konstante) des Hoehenunterschiedes nach unten abgeschaetzt werden kann. Wenn Du also den Graphen in gleichhohe Stufen einteilst, dann gibt es eine vernuenftige Abschaetzung der benoetigten Stufen bei sinkender Hoehe, ohne die Funktion weiter zu kennen.
Ciao Lutz
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die Lipschitz ist noch spezieller: sie fordert, daß nicht nur
f gleichmäßig stetig ist, sondern auch ihre Ableitung.Nein, Lipschitz-stetig und nirgends differenzierbar geht
zusammen (spezielle Fraktale, welche faellt mir gerade nicht
ein).
Natürlich. Mir gings aber zunächst nur um eine anschauliche Erklärung. Hättest du den nächsten Satz mitzitiert, hättest du auch gesehen, dass ich das anschauliche Wort „Ableitung“ durch das mathematisch korrekte Wort „Sekantensteigung“ nachträglich ersetzt hatte!
Gruß
OLIVER
Natürlich. Mir gings aber zunächst nur um eine anschauliche
Erklärung. Hättest du den nächsten Satz mitzitiert, hättest du
auch gesehen, dass ich das anschauliche Wort „Ableitung“ durch
das mathematisch korrekte Wort „Sekantensteigung“ nachträglich
ersetzt hatte!
Sorry, da ist mir die mathematische Strenge zu schnell in die Finger gefahren, dass jeder Satz an sich logisch richtig sein muss.
dann waeren aber auch alle moeglichen Sekantensteigungen zu betrachten, was zu mengenwertigen Abbildungen, Subdifferentialen und jeder Menge Problemen fuehrt. Aber das ist eine verbreitete Herangehensweise z.B. in der theoretischen Optimierung.
Ciao Lutz