Wie groß ist der Bedarf an Wärmeenergie, um in einem Haus einen Anstieg der Lufttemperatur von 20°C auf 25°C zu errichen?
Das Luftvolumen des Hauses betrage 600m³. Die Luft ist ein 2-Atomiges Gas und Die Dichte betrage 1.21 kg/m³.Die innere Energie und Enthalpie sind zu berechnen.
Kümmmern wir uns zunächst um die Freiheitsgrade. Ein zweiatomiges ideales Gas hat drei Translationsfreiheitsgrade (ftrans=3), zwei Rotationsfreiheitsgrade (frot=2) und einen Schwingungsfreiheitsgrad (fosz=1). Mit diesen Werten können wir die Wärmekapazität bei konstantem Druck (Cp) und bei konstantem Volumen (CV) sowie die Innere Energie (U), die Volumenenergie (pV) und die Enthalpie (H) berechnen:
CV = ½R*(ftrans+frot+2fosz) = 7/2*R
Cp = CV+R = 9/2*R
U = ½RT*(ftrans+frot+2fosz) = 7/2*RT
pV = 2/3*Ekin = 2/3*½RT*ftrans = RT
H = U+pV = 9/2*RT
Für den Fall, daß das Gas unter konstantem Volumen erhitzt wird erhalten wir wegen dU=dQ+dW und dw=-pdV=0 die aufgewendete Wärme nach
dQV = dU = 7/2*RdT bzw. dQV = CVdT = 7/2*RdT
Für den Fall, daß das Gas unter konstantem Druck erhitzt wird (und das aus dem Haus geströmte Gas am Ende dieselbe Temperatur hat, wie das Gas im Inneren) erhalten wir wegen dH=dq+Vdp und Vdp=0 die aufgewendete Wärme nach
dQp = dH = 9/2*RdT bzw. dQp = CVdT = 9/2*RdT
Da das bisher nur molare Größen sind, müssen wir sie jeweils mit der Stoffmenge n des im Haus enthaltenen Gases multiplizieren um die endgültigen Werte zu erhalten. Diese Stoffmenge könnten wir aus dem Gesetz des Idealen Gases pV=nRT berechnen, wenn wir den Anfangsdruck p0 gegeben hätten. Alternativ könnten wir es nach n=m/M berechnen, wenn die Molmasse gegeben wäre. Da uns diese Daten aber fehlen, müssen wir raten und setzen für p0 den Luftdruck unter Standardbedingungen von p0=1013254Pa ein:
n = 101325Pa*600m3/(8,31441*J/(mol*K)*293.15K) = 24,942 kmol
u273,15K = 24942mol*7/2*8,31441*J/(mol*K)* 293.15K = 212,775 MJ
u278,15K = 24942mol*7/2*8,31441*J/(mol*K)* 298.15K = 216,404 MJ
h273,15K = 24942mol*9/2*8,31441*J/(mol*K)* 293.15K = 273,568 MJ
h278,15K = 24942mol*9/2*8,31441*J/(mol*K)* 298.15K = 278,234 MJ
dqV = 24942mol*7/2*8,31441*J/(mol*K)* 5K = 3,629 MJ
dqp = 24942mol*9/2*8,31441*J/(mol*K)* 5K = 4,666 MJ
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man sollte aber auch die Wärmekapazität der Wände berücksichtigen. Und das wird wesentlich mehr als die der Luft sein. Warme Luft und kalte Wand gibt wegen der mangelnden Wärmestrahlung der Wände wiederum Kältegefühl.
Harald
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