Hallo!
Kann mir jemand möglichst einfach erklären, was der goldene Schnitt ist und wie ich ihn anwende? Ich brauche eure Hilfe, weil ich überhaupt keine Ahnung davon habe!
Danke im Voraus!
Marie
Hallo.
Lt. Albrecht Beutelspacher ist der goldene Schnitt der Bruch (Wurzel(5)+1)/2)…
Ach, hier eine gute Erklärung: http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt & http://www.google.de/search?hl=de&q=%22goldener+Schn…
HTH
mfg M.L.
Hallo !
Goldener Schnitt (lat. Sectio aurea), in der Mathematik die Aufgabe, eine gerade Linie AB durch einen Punkt C zwischen A und B in zwei solche Teile zu zerlegen, daß sich der kleinere Teil BC zum größern AC verhält wie der größere zur ganzen Linie AB. Man errichtet zu diesem Zwecke (s. Figur) auf AB in B das Lot BC = 1/2 AB, beschreibt um O mit OB als Halbmesser einen Kreis und bestimmt den zwischen A und O liegenden Punkt P, in dem die Gerade AO diesen Kreis trifft, dann ist AC gleich AP. Annähernd ist das Verhältnis des kleinern Teiles BC zum größern AC wie 5:8.
In der Kunst spielen die nach dem Goldenen Schnitt abgenommenen Verhältnisse eine große Rolle, z. B. wählt man bet Fenstern und Türen das Verhältnis der Breite zur Höhe häufig dem Goldenen Schnitt gemäß, ebenso bei Bücherformaten Auch in der Natur findet man das Verhältnis des Goldenen Schnittes sehr häufig Vgl Zeising, Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers (Leipz. 1854) und Der Goldene Schnitt (das. 1884); Wittstein, Der Goldene Schnitt und die Anwendung desselben in der Kunst (Hannov 1874); Matthias. Die Regel vom goldenen Schnitt im Kunstgewerbe (das. 1886). Vgl. auch die Artikel »Mensch« (Darstellung in der bildenden Kunst) und »Viehzucht« (Exterieur).
[Lexikon: Goldener Schnitt. Meyers Großes Konversations-Lexikon (1905), S. 72877 (vgl. Meyer Bd. 8, S. 96 ff.)]
mfgConrad
Hi Marie,
nimm eine Strecke s und teile sie so, dass sich der längere Abschnitt l zum kürzeren k verhält wie die Strecke zum längeren Abschnitt:
l s
- = -
k l
Anfangen kann man damit nichts Rechtes. Es wird gern behauptet, ein Rechteck, dessen Seiten dieses Verhältnis aufweisen, werde von den meisten Menschen als besonders harmonisch empfunden. Dass der Goldene Schnitt in der Natur häufig vorkomme, liest man auch immer wieder, bis auf manche Schnecken ist davon aber nicht viel zu sehen. Am Menschen lassen sich beliebige Verhältnisse finden, warum dann nicht auch die Zahl 1,618.
Gruß Ralf
Es wird gern
behauptet, ein Rechteck, dessen Seiten dieses Verhältnis
aufweisen, werde von den meisten Menschen als besonders
harmonisch empfunden.
Das wird nicht nur behauptet, sondern das ist auch so. Das liegt daran, daß unser Gehirn alles als angenehem empfindet, was bekanntem ähnelt, aber nicht gleicht (das ist wohl notwendig für unsere Lernfähigkeit). Das hat zur Folge, daß alle Fraktale als ästhetisch empfunden werden, weil man wegen ihrer Selbstähnlichkeit ihn den Details das Ganze wiedererkennt. Der Goldene Schnitt ist das einfachste Beispiel für ein Fraktal, bei dem das Verhältnis s/l im Verhältnis l/k wiederfindet.
Daneben hat der Goldene Schnitt aber auch ganz praktische Vorteile. Ein schönes Beispiel ist das folgende eindimensionale Optimierungsverfahren:
In einem Intervall [a0,b0] soll das Minimum gesucht werden. Dazu wird das Intervall in jedem Schritt durch zwei Stützstellen u und v in drei Teilintervalle [a,u], [u,v] und [v,b] zerlegt. Wenn der Funktionswert f(u) von u kleiner als der Funktionswert f(v) von v ist, dann setzt man a1=a0 und b1=v0 und andernfalls a1=u0 und b1=b0 und geht zum nächsten Schritt. Um die Rechenzeit zu halbieren verwendet man dabei im Folgeschritt die im neuen Intervall liegende Stützstelle des Vorgängerschrittes. Das heißt, daß im Intervall [a0,v0] die Stützstelle u und im Intervall [u<sub>0</sub>,b<sub>0</sub>] die Stützstelle v übernommen wird. Dadurch muß in jedem Schritt nur ein neuer Fuktionswert berechnet werden. Zusätzlich soll die Teilung aber in jedem Schritt im gleichen Verhältnis erfolgen. Daraus folgt, daß man die Stützstellen u und v nicht frei wählen kann. Sie müssen so gesetzt werden, daß entweder u1=v0 oder v1=u0 gilt und das erreicht man durch eine Teilung im goldenen Schnitt. Dadurch gilt in jedem Schritt (b-a)/(v-a)=(v-a)/(b-v) und (b-a)/(b-u)=(b-u)/(u-a).
Diesen Trick nutzt natürlich auch die Natur. Daß einige Schnecken auf diese Weise ihr Gehäuse bauen (damit die Proportionen sich beim Wachstum nicht ändern) hast Du ja schon erwähnt. Man findet den goldenen Schnitt (aus demselben Grund) aber auch bei vielen Pflanzen.
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Der Goldene Schnitt ist das einfachste Beispiel für ein Fraktal, bei dem das Verhältnis s/l im Verhältnis l/k wiederfindet.
Danke, das ist die erste vernünftige Begründung, die mir begegnet.
Zusätzlich soll die Teilung aber in jedem Schritt im gleichen Verhältnis erfolgen.
Diese Bedingung eignet sich wunderbar, das Verfahren zu zeigen, nur - wo kommt sie her? Mir scheint diese Forderung reichlich willkürlich.
Gruß Ralf
DIN A4
Hallo,
sind nicht auch die Papierformate im Goldenen Schnitt gestaltet??
Uli
nö
Hi,
sind nicht auch die Papierformate im Goldenen Schnitt
gestaltet??
bei den DIN-A-Formaten ist die Höhe Wurzel 2 mal der Breite wobei A0=1m² ist.
Siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/DIN_A4
Es gibt den Mythos, die Maße von A4 entsprächen dem Goldenen Schnitt,
Grüße,
J~
Zusätzlich soll die Teilung aber in jedem Schritt im gleichen Verhältnis erfolgen.
Diese Bedingung eignet sich wunderbar, das Verfahren zu
zeigen, nur - wo kommt sie her? Mir scheint diese Forderung
reichlich willkürlich.
Ein konstantes Teilungsverhältnis ist tatsächlich nicht unbedingt erforderlich, aber damit das Verfahren optimal funktioniert, müssen die Stützstellen möglichst gleichmäßig über das Intervall verteilt werden (also nicht zu nah am Rand und auch nicht zu nahe beieinander). Würde man die Stützstelle des Vorgängerschrittes weiter verwenden, ohne sie im Goldenen Schnitt gesetzt zu haben, dann würde sie im Intervall hin- und herwandern und es müßten Korrekturschritte eingefügt werden, um wieder optimale Teilung zu erzwingen.
Ein konstantes Teilungsverhältnis ist tatsächlich nicht
unbedingt erforderlich, aber damit das Verfahren optimal
funktioniert, müssen die Stützstellen möglichst gleichmäßig
über das Intervall verteilt werden (also nicht zu nah am Rand
und auch nicht zu nahe beieinander). Würde man die Stützstelle
des Vorgängerschrittes weiter verwenden, ohne sie im Goldenen
Schnitt gesetzt zu haben, dann würde sie im Intervall hin- und
herwandern und es müßten Korrekturschritte eingefügt werden,
um wieder optimale Teilung zu erzwingen.
Danke, das müsste ich mal in einer ruhigen Stunde prüfen, mir erschließt sich die optimale Teilung nicht so recht. Was ich gern noch wüsste: Hat das Verfahren einen Namen? Auf welche Art von Funktionen ist es anwendbar?
Gruß Ralf
mir
erschließt sich die optimale Teilung nicht so recht.
Die optimale Teilung resultiert einfach daraus, daß man das Minimum im gesamten Intervall sucht und da ist es wenig hilfreich, wenn sich die Stützstellen nur in einer Ecke drängeln und über den Rest des Intervalls nichts bekannt ist. Damit riskiert man eine langsamere Konvergenz und eine höhere Wahrscheinlichkeit in lokalen Minima stecken zu bleiben.
Was ich gern noch wüsste: Hat das Verfahren einen Namen?
Im P.Kosmol „Methoden zur numerischen Behandlung nichtlinearer Gleichungen und Optimierungsaufgaben“ wird es einfach „Verfahren des goldenen Schnittes“ genannt.
Auf welche Art von Funktionen ist es anwendbar?
Da es sich um ein simples Suchverfahren handelt, kann man es auf jede Art von Funktion anwenden. Diese muß noch nicht einmal differenzierbar oder stetig sein. Wie bei solchen Verfahren üblich, gibt es natürlich keine Garantie, daß man das globale Minimum findet. Allerdings konvergiert die Intervallgröße gemäß
gn = g0·[(√5-1)/2]n
stetig gegen Null, was das Ganze zwar nicht gerade rasend schnell, aber dafür sehr robust macht. Ich verwende es deshalb gern im eindimensionalen Schritt mehrdimensionaler Optimierungsverfahren wie beispielsweise dem Marquardt-Levenberg-Algorithmus.
Goldiger Fibonacci
Hallo, Freunde der Mathematik, ich will zu den auch für mich bisher sehr lehrreichen Beiträgen nicht großartig Senf dazu geben, nur eine kurze Erklärung zum DIN-A Prinzip, und einen Transfer vom Goldenen Schnitt zu den Fibonaccizahlen:
a) Da die verschiedenen DinA-Maße durch iterierte (fortgesetzte) Halbierung der Bögen entstehen (wobei immer die längere Seite halbiert wird aber dabei das Format -die Form/Proportion- immer gleich bleibt!), wird aus einem Blatt der Größe: l*b bei einmaliger Teilung b*(l/2), und die Anfangsfläche wird dabei ja halbiert.
Also geben 2*b*(l/2) eben wieder l*b, und daraus bestätigt sich natürlich : l*b = 2*b*(l/2), aber vor allem wegen gleichbleibender Proportion:
l:b = b:frowning:l/2), also l*(l/2) = b^2 = l^2/2, also l^2 = 2*b^2, also ergibt sich: l = b*W[2] = ~1,414b.
Ich habe bisher bloß noch nie gehört, warum eigentlich „DINA X“. Gibt es auch „DINB X“??? Kann das bitte jemand erklären?
Zum „Goldenen Schnitt“ wurde ja schon sehr wichtiges richtig („imio“ = „in my inhumble opinion“) berichtet und zusammengetragen. Wählt man „1“ als Länge eines rechteckigen Blattes und nennt "b"1 voraus, „betragsmäßig“, und |-1,619| > 1.
Was aber bedeutet die „andere Lösung“ -1,618 praktisch?
Na, auf jeden FFall ein „Anbauverfahren“, wir schneiden damit eine „negative Breite ab“, machen also „breiter“.
Das ist aber echt nur ein Problem für Rosinenpuper wie mich.
Wichtiger ist mir, imio, der Bezug zu den Fibonaccizahlen, die sich ja bekanntlich so bilden:
0;1;1=(0+1);2=(1+1);3=(1+2); ;;;;;; an;an+1; (an+an+1);.
„Da gib es doch diese Formel von !!!“
Ich selber vergesse immer den Namen, komischerweise.
Aber ich kann selber einiges herleiten (die Formel von ??? aber nur per Induktion beweisen):
Zum Beispiel das Verhältnis qn zweier aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen an und an-1:
qn = an:an-1
Es ist (im Bauch) leicht zu sehen, daß dieses Verhältnis q allmählich konvergiert; aber ziemlich schwer mathematisch zu beweisen!
Wenn man aber von der Konvergenz als bewiesen ausgeht, (weiß jemand einen „einfachen“ Beweis?), dann ist ja "irgendwann einmal qn = qn+1 = q, und also:
Im folgenden ist immer „an+1“ = a Index n+1 !
an+1/an = an/an-1 = q, mit an+1 = an + an-1 also (an +an-1)/an = an/an-1, also an/an + an-1/an = an/an-1, also 1 + 1/q = q, also q^2 - q - 1 = 0, also q1,2 = 1/2 +/- W[5]/2, also wieder 2 Lösungen, wovon die negative natürlich „wegfällt“, also q = ~0,5+1,118 = 1,618 übrigbleibt. (also die „negative negative G.S.-Variante“!)
AUF alle Fälle finden wir in dieser ebigen Formel schon einmal die merkwürdige Wurzelaus5 aus der Binetschen Formel (aha! Grade eingefallen!)!
Dieser Zusammenhang zwischen Goldenem Schnitt und Fibonaccizahlen ist auch reichlich „bioaktiv“, vor allem wegen der Bedeutung der Fibonaccizahlen bei der „fortpflanzenden Paarbildung“!
Ich persönlich finde, daß wenigstens EIN WENIG Kenntnisse über/von den Fibonaccitzahlen zur Allgemeinbildung dazugehören!
Was allerdings den merwürdigen Vorzeichenwechsel zwischen Goldenem Schnitt und Fibonacciquotienten betrifft: das geht sicherlich sehr tief, aber da muß ich zunächst kapitulieren. Das ist mehr Philosophensacxhe!
Lieber Krüsse, Moinmoin, Manni
Gibt es auch „DINB X“???
Ja. Es gibt sogar „DINC X“. Das sind Formate von Briefumschlägen.
Dinxs!
Lieber Mister Stupendous!
Haha, aber, warum schreibst Du „sogar“?
Kommßu aus DinZlaken? Oder in?
Bitte, hassu auch ne Idee, watt die im
Pommes- und im Spaghetti, undundund im
Undland haben?
Im UK „RT“? (Royal Taille")
Lieber Krüsse, moin, Manni
(Pst: die bisherige 1 Antwort auf deren
scheint mir „zu eng“ an der Sache.
Ich warte erstmal ab.)
Hallo!
Ihr habt mir sehr geholfen! Danke!
Gruß
Marie