Erstens solltest du den Informationen deines Links nicht zu sehr vertrauen. Es heißt dort zum Beispiel:
„Folgendes schrittweise Vorgehen hat sich zur Eintreibung von Forderungen bewährt. Rechtlicherseits ist nur eine Mahnung erforderlich, bevor ein gerichtlicher Mahnbescheid erwirkt werden kann, die Mahnungen 2 und 3 sind damit entbehrlich.“
Du wirst in der ganzen ZPO - und auch in anderen Gesetzen - keine Vorschrift finden, welche die Zulässigkeit des Mahnverfahrens von einer Mahnung abhängig macht.
Zweitens kann man den Text, den du verlinkt hast, nur bedingt so verstehen, dass er meint, es bestehe aus Sicht des BGB ein Unterschied zwischen Zahlungserinnerung und Mahnung. Ich glaube eher, die haben eine unternehmensinterne Terminologie, was ja auch nicht verboten ist. WENN sie wirklich glauben sollten, eine Zahlungserinnerung sei keine Mahnung im Sinne des Gesetzes, wäre der Text aber auch insofern falsch.
Wenn ein RA eine Forderung eintreiben soll, dann schuldet ihm sein Auftraggeber (!) dafür ein Entgelt. Dieses Entgelt kann als Verzugsschaden geltend gemacht werden (ggf. in Form eines Freistellungsanspruchs), wenn zum Zeitpunkt, als die Anwaltsgebühren entstanden, der Schuldner sich in Verzug befand. Verzug wird in § 286 BGB geregelt; er setzt nicht zwingend immer eine Mahnung voraus, grundsätzlich aber eben schon.
Was nun ist also eine Mahnung? Nach dem Bundesgerichtshof - dem du hoffentlich mehr glaubst als irgendwelchen Inkassounternehmen - ist eine Mahnung -->> jede eindeutige und bestimmte Aufforderung, mit der der Gläubiger unzweideutig zum Ausdruck bringt, dass er die geschuldete Leistung verlangt.