Hallo ihr,
ich hänge gerade bei Grenzwerten von Funktionen.
also mir ist klar, wie man den Grenzwert von x*sin(1/x)findet, wenn x gegen Null geht. Dann kann ich das ja auch schön mit der Definition eines Grenzwertes einer Folge beweisen. Also Für alle E größer Null, existiert ein D größer Null, so dass falls der Betrag von x -0
Moin,
x*sin(1/x)-0
lim x->oo x*sin(1/x)
= lim x->oo x*(1/x - 1/(3!x^3) + 1/(5! x^5) +…+ (-1)^((n-1)/2)/(n! x^n) )
= lim x->oo 1 - 1/(6x^2) +…
= 1
Gruß,
Ingo
Moin,
das allgemeine Element der Sinusentwicklung war etwas schief geraten, hier richtig:
lim x->oo x*sin(1/x)
= lim x->oo x*(1/x - 1/(3!x^3) + 1/(5! x^5) +…+(-1)^(n+1)/((2n-1)! x^(2n-1) ) mit n€N
= lim x->oo 1 - 1/(6x^2) +…
= 1
Gruß,
Ingo
Ähhm halt mal , die Reihenentwicklung passt doch garnicht.
Wenn ich sin(1/x) Taylorentwickle muss man den schon nach dem argument, also x, entwickeln. Also auch entsprechend nach x ableiten und nicht einfach 1/x in die entwicklung nach sin(x) einsetzen , dann stellt man nähmlich fest das es schonmal nen problem gibt einen gescheiten entwicklungspunkt zu finden. Habs jetzt nicht komplett nachgerechnet aber der null punkt( wie bei dir ) fällt schonmal raus. Und dann bleibt da noch die frage mit dem konvergenzradius etc.
Wäre doch der klassische fall für l´hospital : lim(f(x)/g(x))=lim(f’(x)/g’(x))
hier mit f(x)=sin(1/x) und g(x)=1/x ; so dass f(x)/g(x) wieder x*sin(1/x) ergibt.
wenn man das nun ableitet und kürzt son erhält man : lim( cos(1/x)) und der ist 1 für x->oo .
Gruß,das pferd
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Moin,
Wäre doch der klassische fall für l´hospital :
klingt nach der saubereren Lösung.
Gruß,
In *experimentalmathematiker* go
Hallo.
Ich habe mir überlegt, dass lim 1/x = 0 für x gegen Unendlich
und so natürlich lim sin 1/x = 0. Aber x geht ja gegen
Unendlich und null mal unendlich… dann hänge ich… Kann mir
jemand einen Tipp geben, wie ich hier weiterkomme?
Hm, könnte man das nicht etwas umformen?
lim (x sin(1/x)) = lim (sin(1/x) / (1/x))
Für x gegen Unendlich gehen nun Zähler (sin (1/x)) und Nenner (1/x) gegen 0. Da kann man also die Regel von L’Hospital anwenden:
lim (sin(1/x) / (1/x))
= lim ((cos(1/x)*(-1)/x^2) / (-1/x^2))
= lim (cos(1/x))
Für x gegen Unendlich geht 1/x gegen 0 und somit cos(1/x) gegen 1.
Sebastian.
Hallo,
Ähhm halt mal , die Reihenentwicklung passt doch garnicht.
Wenn ich sin(1/x) Taylorentwickle muss man den schon nach dem
argument, also x, entwickeln.
eine Entwicklung erfolgt stets um einen bestimmten Punkt x=x0 herum. Den Grenzwert für x→x0 kann man dann einfach von der Potenzreihe ablesen.
Um den Grenzwert der Funktion f(x) für x→∞ zu bestimmen, kann man sich des Tricks bedienen, die Funktion g(y)=f(1/y) um y=0 zu entwickeln. Im Falle der Existenz stimmt dann der rechtsseitige Grenzwert von g(y→0) mit dem Grenzwert für f(x→∞) überein. Das ist im Grunde, was Ingo gemacht hat.
Wäre doch der klassische fall für l´hospital :
Die Regel von l’Hospital ist zur Bestimmung eines Grenzwerts gegenüber der Potenzreihenentwicklung „minderwertig“. Sie führt seltener zum Ziel und gibt selbst dann weniger Informationen.
–
PHvL